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弱重力場中の光の経路の近似解

光の経路を決める式は,一般には解析的な厳密解を求めることができない。ここでは,光の経路のいたるところで重力場が弱いという近似のもと,光の経路を摂動法により近似的に解く。

シュバルツシルト時空

$$ ds^2 = -\left(1-\frac{r_g}{r}\right) c^2 dt^2 + \frac{dr^2} {1-\frac{r_g}{r}} + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\varphi^2)$$
ここで \(\displaystyle r_g \equiv \frac{2 G M}{c^2} \) はシュバルツシルト半径(または重力半径)。以後は特に断らない限り,\(c = 1\) とする。

シュバルツシルト時空中の光の経路を決める式

$$ \frac{1}{r} \equiv u$$
と変数変換してやると,

\begin{eqnarray}
\left(\frac{du}{d\phi}\right)^2
&=& \left(\frac{\omega_c}{\ell}\right)^2 – u^2 + r_g \,u^3\\
&=& \left(\frac{1}{b}\right)^2 – u^2 + r_g \,u^3, \quad \frac{1}{b} \equiv \frac{\omega_c}{\ell} \ \ (b > 0)
\end{eqnarray}
これが光の経路を決める式であった。ここで,光の4元ベクトル \(\boldsymbol{k}\) の成分 \(k^{\mu}\) について
$$ k^0 = \frac{\omega_c}{1 – \frac{r_g}{r}}, \quad k^2 = 0  \ \left( \theta =  \frac{\pi}{2}\right), \quad
k^3 =  \frac{d\phi}{dv} = \frac{\ell}{r^2}$$

\(\ell = 0\) の場合は \(\phi\) が一定となる経路であり,\(r=0\) という大変なところを通ることになりそうなので除外する。つまり,
$$\ell \neq 0$$

経路を決める式を2階微分方程式の形にする

\begin{eqnarray}
\left(\frac{du}{d\phi}\right)^2
&=& \left(\frac{1}{b}\right)^2 – u^2 + r_g \,u^3
\end{eqnarray}
のままでも近似的に解くことは可能であるが(補足を参照),両辺を \(\phi\) で微分して

\begin{eqnarray}
2 \frac{du}{d\phi} \frac{d^2 u}{d\phi^2} &=& – 2 u \frac{du}{d\phi} + 3 r_g u^2 \frac{du}{d\phi}\\
\therefore \ \ \frac{d^2 u}{d\phi^2} &=& -u + \frac{3}{2} r_g u^2
\end{eqnarray}
として,こちらを近似的に解く方法を紹介する。なんでもう1階微分して,この2階微分方程式にしたかというと,みてわかるように,左辺が  \(u \) (の微分)について線形になっており,全体を見わたすと懐かしい単振動の方程式に補正項がついた形になっていて,ひょっとしたら解きやすいかも… と思われるからである。

積分定数を決める追加の条件

ただし,このままだと本来1階微分(の2乗)の方程式だから解は積分定数を1個持つはずが,もう1階微分して2階微分方程式となったので解は積分定数を2個持つことになってしまう。

微分の階数を人為的に上げたことで現れることになってしまった余分の積分定数1個については,もとの式に戻って,以下のような条件を課して決定することにする。

「ただし,\(\displaystyle \frac{du}{d\phi} = 0 \) のとき,\(\displaystyle \left( \frac{1}{b}\right)^2 – u^2 + r_g u^3 = 0\) とする。」

弱重力場近似:\(r_g\) のゼロ次解

光の経路のいたるところで重力場が弱いという状況では, \(\displaystyle 0 < \frac{r_g}{r} = r_g u \ll 1\) としてよい。光の経路を決める式
$$\frac{d^2 u}{d\phi^2} = -u + \frac{3}{2} r_g u^2$$
の右辺のうち,\(r_g\) を含む第2項は第1項に比べて \(O(r_g u) \) だけ小さい。したがって,まずは \(r_g\) を含む項を無視した場合の解を \(u_0\) とおいて解く。
$$\frac{d^2 u_0}{d\phi^2} = – u_0$$

これは大学に入って最初に習う微分方程式であり,一般解は脊髄反射で以下のように解ける。
$$ u_0 = A \cos\phi + B \sin \phi$$
積分定数 \(A, B\) は以下のようにして決定する。

  • \(\phi = 0 \) で \( u_0 = 0 \) という初期条件をつけると,\(A = 0 \)。
    ただし,\(u \equiv 1/r\) であるから,この初期条件は \(r \rightarrow \infty\) となる。
    無限大という初期条件に抵抗があるなら,実質同じ解になるが,
    \(\displaystyle \phi = \frac{\pi}{2}\) のとき \(\displaystyle \frac{du_0}{d\phi} = 0\) としてもよい。この条件でもやはり,\(A = 0\) となる。
  • \(B\) は以下の(\(r_g\) を含む項を無視した)追加の条件を使う。
    「ただし,\(\displaystyle \frac{du_0}{d\phi} = 0 \) のとき,\(\displaystyle \left(\frac{1}{b}\right)^2 – u_0^2 = 0\) とする。」
    \(\displaystyle \frac{du_0}{d\phi} = B \cos\phi = 0 \) となるのは \(\displaystyle \phi=\frac{\pi}{2}\) のとき。これから \(\displaystyle B = \frac{1}{b} \) と求められる。

まとめ: \(r_g\) を含む項を無視したときの解は$$ u_0 = \frac{\sin\phi}{b}$$

ちなみに,\(\displaystyle r_g = \frac{2GM}{c^2}\) であるので,\(r_g\) を含む項を無視するという近似は \(\displaystyle \frac{1}{c^2}\) を含む項を無視する近似,いわゆる「ニュートン近似」に対応する。

弱重力場近似:\(r_g\) の1次解

$$ u = u_0 + r_g \,u_1(\phi) = \frac{\sin\phi}{b}+ r_g\,u_1$$ とおいて微分方程式に代入し,\(r_g\) の1次までとると,
$$ \frac{d^2 u_1}{d\phi^2} + u_1 = \frac{3}{2 b^2} \sin^2\phi \equiv R(\phi)$$
非同次項 \(R(\phi)\) をもつ,この非同次2階線形微分方程式の特解を求める手法はよく知られており(学部2年生に教えてます),以下のように求めることができる。(補足を参照。)
$$ u_1 =  \frac{1}{b^2} \left( 1 – \frac{1}{2} \sin^2 \phi \right)$$

したがって,\(r_g\) の1次までの効果を取り入れた光の経路は
$$ \frac{1}{r} =u = u_0 + r_g u_1 =  \frac{\sin\phi}{b} + \frac{r_g}{b^2} \left( 1 – \frac{1}{2} \sin^2 \phi \right)$$
となる。

 

Maxima-Jupyter で解く例


弱重力場中の光の経路の近似解

Maxima で$$\frac{d^2 u}{d\phi^2} = -u + \frac{3}{2} r_g u^2$$
を近似的に解く。

弱重力場近似:$r_g$ のゼロ次解

光の経路のいたるところで重力場が弱いという状況では, $\displaystyle 0 < \frac{r_g}{r} = r_g u \ll 1$ としてよい。$r_g$ を含む項を無視した場合の解を $u_0$ とおいて解く。
$$\frac{d^2u_0}{d\phi^2}
= – u_0$$

 

In [1]:
eq0: 'diff(u0, phi, 2) = -u0;
Out[1]:
\[\tag{${\it \%o}_{1}$}\frac{d^2}{d\,\varphi^2}\,u_{0}=-u_{0}\]
In [2]:
sol0: ode2(eq0, u0, phi);
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{2}$}u_{0}={\it \%k}_{1}\,\sin \varphi+{\it \%k}_{2}\,\cos \varphi\]

初期条件

In [3]:
ans0: ic2(sol0, phi=%pi/2, u0 = 1/b, 'diff(u0, phi) = 0);
Out[3]:
\[\tag{${\it \%o}_{3}$}u_{0}=\frac{\sin \varphi}{b}\]
In [4]:
u0: rhs(ans0);
Out[4]:
\[\tag{${\it \%o}_{4}$}\frac{\sin \varphi}{b}\]

弱重力場近似:$r_g$ の1次解

$\displaystyle u = u_0 + r_g u_1$ として $u_1$ を求める。$u_1$ の方程式は$$\displaystyle \frac{d^2 u_1(\phi)}{d\phi^2} + u_1(\phi) = \frac{3}{2b^2} \sin^2\phi$$
これを解く。

In [5]:
eq1: 'diff(u1, phi, 2) + u1 = 3/(2*b**2) * sin(phi)**2;
Out[5]:
\[\tag{${\it \%o}_{5}$}\frac{d^2}{d\,\varphi^2}\,u_{1}+u_{1}=\frac{3\,\sin ^2\varphi}{2\,b^2}\]
In [6]:
sol: ode2(eq1, u1, phi);
Out[6]:
\[\tag{${\it \%o}_{6}$}u_{1}=\frac{\cos \left(2\,\varphi\right)+3}{4\,b^2}+{\it \%k}_{1}\,\sin \varphi+{\it \%k}_{2}\,\cos \varphi\]

積分定数 $\%k_1, \%k_2$ に比例する項は同次方程式の一般解だから,非同次方程式の特解部分は

In [7]:
tokkai: rhs(sol), %k1 = 0, %k2 = 0;
Out[7]:
\[\tag{${\it \%o}_{7}$}\frac{\cos \left(2\,\varphi\right)+3}{4\,b^2}\]

$\cos(2\phi)$ の表示を $\sin\phi$ だけで書き換えます。

In [8]:
trigexpand(tokkai);
U1: subst(1-sin(phi)**2, cos(phi)**2, %), expand;
Out[8]:
\[\tag{${\it \%o}_{8}$}\frac{-\sin ^2\varphi+\cos ^2\varphi+3}{4\,b^2}\]
Out[8]:
\[\tag{${\it \%o}_{9}$}\frac{1}{b^2}-\frac{\sin ^2\varphi}{2\,b^2}\]
In [9]:
U0: sin(phi)/b$

u = U0 + rg* U1;
Out[9]:
\[\tag{${\it \%o}_{11}$}u=\left(\frac{1}{b^2}-\frac{\sin ^2\varphi}{2\,b^2}\right)\,{\it rg}+\frac{\sin \varphi}{b}\]