水星の近日点移動

弱重力場中のテスト粒子の軌道

\(r_g\) の1次までの範囲で（ただし，\(O(r_g e^2)\) の項は無視して）求めたテスト粒子の軌道は，ニュートン近似で得られた楕円の軌道長半径 \(a\) と離心率 \(e\) を使って以下のように書けることがわかった。

$$ \frac{1}{r} =  \frac{\alpha}{a(1-e^2)} \left\{ 1 + e \beta \cos(\gamma\phi) \right\}$$

ここで，

$$ \alpha = 1 + \frac{3r_g}{2 a (1-e^2)}$$
$$ \beta = 1 + \frac{r_g}{2 e^2 a (1-e^2)}$$
$$ \gamma = \sqrt{ 1 – \frac{3 r_g}{a(1-e^2)}} \simeq 1 – \frac{3 r_g}{2a(1-e^2)}$$

これをあらためて以下のようにあらわす。

$$r = \frac{\tilde{a} (1 – \tilde{e}^2)}{1 + \tilde{e}\cos\left(\gamma \phi \right)}$$

ここで，\(\tilde{a}, \tilde{e}\) は一般相対論的補正を含んだ軌道長半径や離心率に対応し，以下のように定義される。

$$\tilde{a} \equiv \frac{r_{\textrm{max}} + r_{\textrm{min}}} {2}, \quad
\frac{1 + \tilde{e}}{1-\tilde{e}}\equiv \frac{r_{\textrm{max}}}{r_{\textrm{min}}}$$

近（日）点移動角

また，$0<\gamma < 1$ であるために，$\phi = 0$ で $r$ が最小値 \(r_{\textrm{min}}\) をとった後，次の最小値となる角度 \(\phi\) は $2\pi$ ラジアンからさらに $\varDelta$ だけ必要である。この現象を近点移動（中心天体が太陽の場合は近日点移動），この角度 $\varDelta$ を近点移動角（中心天体が太陽の場合は近日点移動角）と呼び，以下のようにして求められる。

\begin{eqnarray}
(2\pi + \varDelta) \gamma &=& 2\pi\\
\therefore\ \ \varDelta &=& \frac{2\pi}{\gamma} – 2 \pi\\
&=&\frac{3\pi r_g}{a(1-e^2)} = \frac{6\pi GM}{c^2 a (1-e^2)}
\end{eqnarray}

Maxima-Jupyter での計算例

Delta = Delta: 6*%pi*G*M/(c**2 * a * (1-e**2));

/* 万有引力定数 */
G: 6.674E-11$
/* 太陽質量 kg */
M: 1.9891E30$
/* 水星の軌道長半径 m */
a: 57.909E9$
/* 水星の離心率 */
e: 0.2056$
/* 水星の公転周期 年 */
T: 0.241$
/* 光速 m/s */
c: 299792458$

ev(float(Delta));

fpprintprec: 3$
print("100年あたり", 
float(ev(Delta) /%pi * 180 * 60 * 60 * 100/T), "秒角")$

近点移動のパラパラアニメ