補足：弱重力場中の粒子の軌道のよろしくない近似解法例

テスト粒子の軌道を決める式は，一般には解析的な厳密解を求めることができない。ここでは，粒子の軌道のいたるところで重力場が弱いという近似のもと，粒子の軌道を近似的に解くのだが，光の経路の場合と同様な摂動法により近似的に解くと，力学における「強制振動による共鳴」のような，単調増加する振幅を持つ項が出てくる場合がある。これはあまりよろしくない。このへんの事情について補足しておく。

シュバルツシルト時空中のテスト粒子の軌道を決める式

$$\frac{1}{r} \equiv s$$
と変数変換してやると，
$$\left( \frac{ds}{d\phi} \right)^2 =\frac{1}{b^2}  -\left(s – \frac{GM}{\ell^2} \right)^2+ r_g\, s^3, \quad\frac{1}{b} \equiv \sqrt{\frac{\epsilon^2 – c^2}{\ell^2} +  \left(\frac{GM}{\ell^2}\right)^2}$$

これが粒子の軌道を決める式であった。

軌道を決める式を2階微分方程式の形にする

このままでも近似的に解くことは可能であるが，両辺を \(\phi\) で微分して

\begin{eqnarray}
2\frac{ds}{d\phi} \frac{d^2s}{d\phi^2}  &=& -2 \left(s – \frac{GM}{\ell^2} \right) \frac{ds}{d\phi} + 3 r_g s^2 \frac{ds}{d\phi}\\
\therefore\ \  \frac{d^2s}{d\phi^2}  &=&-\left(s – \frac{GM}{\ell^2} \right) + \frac{3}{2}r_g s^2
\end{eqnarray}

として，こちらを近似的に解く。

積分定数を決める追加の条件

ただし，このままだと本来1階微分（の2乗）の方程式だから解は積分定数を1個持つはずが，もう1階微分して2階微分方程式となったので解は積分定数を2個持つことになってしまう。

微分の階数を人為的に上げたことで現れることになってしまった余分の積分定数1個については，もとの式に戻って，以下のような条件を課して決定することにする。

「ただし，\(\displaystyle \frac{ds}{d\phi} = 0\) のとき，\(\displaystyle \frac{1}{b^2}  -\left(s – \frac{GM}{\ell^2} \right)^2+ r_g\, s^3 = 0\) とする。」

弱重力場近似：\(r_g\) のゼロ次解

粒子の軌道のいたるところで重力場が弱いという状況では， \(\displaystyle 0 < \frac{r_g}{r} = r_g s \ll 1\) としてよい。粒子の軌道を決める式
$$\frac{d^2s}{d\phi^2}  =-\left(s – \frac{GM}{\ell^2} \right) + \frac{3}{2}r_g s^2$$
の右辺のうち，\(r_g\) を含む項はその前の項に比べて \(O(r_g s) \) だけ小さい。したがって，まずは \(r_g\) を含む項を無視した場合の解を \(s_0\) とおいて解く。
$$\frac{d^2 s_0}{d\phi^2} = -\left(s_0 – \frac{GM}{\ell^2} \right) $$

（楕円軌道であることがひと目でわかるように）以下のような変数を定義してやる。
$$ \frac{GM}{\ell^2} = \frac{1}{a(1-e^2)}, \quad  \frac{1}{b} = \frac{e}{a(1-e^2)}$$ すると，

$$s_0 = \frac{1}{r} = \frac{1 + e\cos\phi}{a(1-e^2)}$$

弱重力場近似：\(r_g\) の1次の非同次項

\begin{eqnarray}
\frac{d^2s}{d\phi^2}  &=&-\left(s – \frac{GM}{\ell^2} \right) + \frac{3}{2}r_g s^2\\
&=&-\left(s – \frac{1}{a(1-e^2)} \right) + \frac{3}{2}r_g s^2
\end{eqnarray}
で，\(\displaystyle s \equiv s_0 + r_g s_1\) とおいて上記の微分方程式に代入し，\(r_g\) の1次の項をとると
$$ \frac{d^2 s_1}{d\phi^2} + s_1 = \frac{3}{2 a^2(1-e^2)^2} \left( 1+ 2e\cos\phi + e^2\cos^2\phi \right) $$

これは，非同次2階線形常微分方程式なので，光の経路の場合と同様に同次方程式の2つの一般解とロンスキアンを使って特解を求める公式を使えばいいのであるが，問題となるのは，右辺の非同次項のうちの \(\cos\phi\) に比例する項である。この項によって，$\phi \sin\phi$ という単調増加する振幅 $\phi$ をもつ「強制振動による共鳴」解があらわれる。

力学的には，共鳴とは系の固有振動数に等しい外力を受けて振幅が増大する現象である。2階常微分方程式を解く立場からみると，共鳴とは同次方程式の基本解に比例する非同次項による特解のことである。

本来，$r_g$ の項は小さいとして摂動法により近似解を求めてきたのに，出てきた解は単調増加する振幅を持つのであれば，「小さい」という前提条件がやがて破綻してしまう！

なので，これはよろしくない解法例である。

Maxima-Jupyter による説明例

eq1: 'diff(s1, phi, 2) + s1 = K * (2*e*cos(phi) );

sol: ode2(eq1, s1, phi);

tokkai: rhs(sol), %k1 = 0, %k2 = 0, expand;

ans1: trigexpand(cos(phi-K*phi));

taylor(ans1, K, 0, 1);