二間瀬さんへの私信。夏休みの宿題「非一様宇宙の距離」について。
$\Omega_{\Lambda} = 0$ の場合の Angular Diameter Distance
\begin{eqnarray}
d_A
&=& \frac{2}{H_0 \Omega_{\rm m}^2 (1+z)^2} \left\{2 – \Omega_{\rm m} + \Omega_{\rm m} z – (2-\Omega_{\rm m}) \sqrt{1 + \Omega_{\rm m} z}\right\}
\end{eqnarray}
以下では $H_0$ を省略し，表記の都合上 $\Omega_{\rm m} \rightarrow \Omega$
In [1]:
dA(Omega, z):= 2/(Omega**2*(1+z)**2) *
(2-Omega+ Omega*z - (2-Omega)*sqrt(1 + Omega*z));
Out[1]:
$\Omega_{\rm m} + \Omega_{\Lambda} = 1$ の場合の Angular Diameter Distance
\begin{eqnarray}
d_A
&=& \frac{1}{H_0 (1+z)} \int_0^z \frac{dz}{\sqrt{(1-\Omega_{\rm m}) + \Omega_{\rm m} (1+z)^3} }
\end{eqnarray}
解析的には積分できないので，quad_qags() で数値積分する。quad_qags() は4つの要素
[積分の近似値, 近似の絶対誤差, 被積分関数の評価数, エラーコード]
からなるリストを返すので，積分近似値のみを出力させたい場合には [1] をつけてリストの1番目の要素のみを出力するように指定する。
In [2]:
/* 被積分関数の定義 */
f(Omega, z):= 1/sqrt((1-Omega) + Omega*(1+x)**3);
dAL(Omega, z):= ((1/(1+z)*quad_qags(f(Omega, x), x, 0, z))[1]);
Out[2]:
Out[2]:
非一様宇宙の距離：ケース1
近傍：
- $0 \leq z \leq 0.1$ の近傍では，local なハッブル定数の値 $\tilde{H}_0$ は global な値 $H_0$ より $10\%$ 大きいとする。
$$\tilde{H}_0 = 1.1 \, H_0$$ - $0 \leq z \leq 0.1$ の近傍では， Angular Diameter Distance は以下の式で記述できるとする。
\begin{eqnarray}
\Omega_{\Lambda} &=& 0 \\
\Omega_{m} &\Rightarrow& \Omega = 0.5 \\
d_A(\Omega, z) &=& \frac{2}{\tilde{H}_0 \Omega^2 (1+z)^2}\left\{2 – \Omega + \Omega z – (2-\Omega) \sqrt{1 + \Omega z}\right\} \\
&\simeq& \frac{z}{\tilde{H}_0}\quad (z \leq 0.1 \ll 1)
\end{eqnarray} - 近傍については Raychaudhuri equation を解いて… というご依頼であったが，$z \leq 0.1 \ll 1$ であるため，$\displaystyle d_A(z) \simeq \frac{z}{\tilde{H}_0}$ として十分であることがわかる。
これは，Dyer-Roeder distance の empty beam のケースを使っても，ほとんど変わらない。
遠方：
- $0.1 \leq z \leq 1$ の領域では，ハッブル定数の値は global な値 $H_0$ であるとする。
- $0.1 \leq z \leq 1$ の領域では，Angular Diameter Distance は以下の式で記述できるとする。
\begin{eqnarray}
\Omega_{\Lambda} &=& 0 \\
\Omega_{m} &\Rightarrow& \Omega = 1 \\
d_A(\Omega, z) &=& \frac{2}{{H}_0 \Omega^2 (1+z)^2}\left\{2 – \Omega + \Omega z – (2-\Omega) \sqrt{1 + \Omega z}\right\} \\
&=& \frac{2 \left(1+z-\sqrt{1+z}\right)}{H_0 (1+z)^2}
\end{eqnarray}
グラフ
近傍，遠方それぞれに異なったハッブル定数の値を使った Angular Diameter Distance をグラフにする。
In [3]:
localOm: 0.5$
globalOm: 1$
keylocal: printf(false, "{/Times Ω_m =~3,f, Ω_Λ= 0, local H_0}", localOm)$
keyglobal: printf(false, "{/Times Ω_m =~3,f, Ω_Λ= 0, global H_0}", globalOm)$
draw2d(
dimensions = [640, 480],
user_preamble = ["set key bottom right;"],
xlabel = "{/Times z}",
title = "Angular Diameter Distance",
line_width = 2,
key = keyglobal,
color = red,
explicit(dA(globalOm, z), z, 0.1, 1),
key = keylocal,
color = blue,
explicit(dA(localOm, z)/1.1, z, 0, 0.1)
)$
領域全体 $0 \leq z \leq 1$ を一つのハッブル定数の値 $\tilde{H}_0$，一つの距離公式を使って表すことができるか，試してみる。
以下の例でわかるように，一つのハッブル定数の値 $\tilde{H}_0$，一つの距離公式を使って表すことはそんなにうまくはいかない。
In [4]:
localOm: 0.5$
globalOm: 1$
totalOm1: 0.3$
totalOm2: 0.6$
keylocal: printf(false, "{/Times Ω_m =~3,f, Ω_Λ= 0, local H_0}", localOm)$
keyglobal: printf(false, "{/Times Ω_m =~3,f, Ω_Λ= 0, global H_0}", globalOm)$
keytotal1: printf(false, "{/Times Ω_m =~3,f, Ω_Λ= 0, local H_0}", totalOm1)$
keytotal2: printf(false,
"{/Times Ω_m =~3,f, Ω_Λ=~3,f, local H_0}", totalOm2, 1-totalOm2)$
draw2d(
dimensions = [640, 480],
user_preamble = ["set key bottom right;"],
xlabel = "{/Times z}",
title = "Angular Diameter Distance",
line_width = 1,
key = keytotal1,
color = black,
explicit(dA(totalOm1, z)/1.1, z, 0, 1),
line_type = dots,
key = keytotal2,
color = black,
explicit(dAL(totalOm2, z)/1.1, z, 0, 1),
line_width = 2,
line_type = solid,
key = keyglobal,
color = red,
explicit(dA(globalOm, z), z, 0.1, 1),
key = keylocal,
color = blue,
explicit(dA(localOm, z)/1.1, z, 0, 0.1)
)$
非一様宇宙の距離：ケース2
近傍：
- $0 \leq z \leq 0.1$ の近傍では，local なハッブル定数の値 $\tilde{H}_0$ は global な値 $H_0$ より $10\%$ 大きいとする。
$$\tilde{H}_0 = 1.1 \, H_0$$ - $0 \leq z \leq 0.1$ の近傍では， Angular Diameter Distance は以下の式で記述できるとする。
\begin{eqnarray}
\Omega_{\Lambda} &=& 0 \\
\Omega_{m} &\Rightarrow& \Omega = 0.2 \\
d_A(\Omega, z) &=& \frac{2}{\tilde{H}_0 \Omega^2 (1+z)^2}\left\{2 – \Omega + \Omega z – (2-\Omega) \sqrt{1 + \Omega z}\right\} \\
&\simeq& \frac{z}{\tilde{H}_0}\quad (z \leq 0.1 \ll 1)
\end{eqnarray} - 近傍については Raychaudhuri equation を解いて… というご依頼であったが，$z \leq 0.1 \ll 1$ であるため，$\displaystyle d_A(z) \simeq \frac{z}{\tilde{H}_0}$ として十分であることがわかる。
これは，Dyer-Roeder distance の empty beam のケースを使っても，ほとんど変わらない。
遠方：
- $0.1 \leq z \leq 1$ の領域では，ハッブル定数の値は global な値 $H_0$ であるとする。
- $0.1 \leq z \leq 1$ の領域では，Angular Diameter Distance は以下の式で記述できるとする。
\begin{eqnarray}
\Omega_{\Lambda} &=& 0 \\
\Omega_{m} &\Rightarrow& \Omega = 0.3 \\
d_A(\Omega, z) &=& \frac{2}{{H}_0 \Omega^2 (1+z)^2}\left\{2 – \Omega + \Omega z – (2-\Omega) \sqrt{1 + \Omega z}\right\}
\end{eqnarray}
グラフ
近傍，遠方それぞれに異なったハッブル定数の値を使った Angular Diameter Distance をグラフにする。
In [5]:
localOm: 0.2$
globalOm: 0.3$
keylocal: printf(false, "{/Times Ω_m =~3,f, Ω_Λ= 0, local H_0}", localOm)$
keyglobal: printf(false, "{/Times Ω_m =~3,f, Ω_Λ= 0, global H_0}", globalOm)$
draw2d(
dimensions = [640, 480],
user_preamble = ["set key bottom right;"],
xlabel = "{/Times z}",
title = "Angular Diameter Distance",
line_width = 2,
key = keyglobal,
color = red,
explicit(dA(globalOm, z), z, 0.1, 1),
key = keylocal,
color = blue,
explicit(dA(localOm, z)/1.1, z, 0, 0.1)
)$
領域全体 $0 \leq z \leq 1$ を一つのハッブル定数の値 $\tilde{H}_0$，一つの距離公式を使って表すことができるか，試してみる。
以下の例でわかるように，宇宙定数を導入して $\Omega_{m} + \Omega_{\Lambda} = 1$ とした場合には，一つのハッブル定数の値 $\tilde{H}_0$，一つの距離公式を使って表すことは，そこそこうまくいくようにも思える。
In [6]:
localOm: 0.2$
globalOm: 0.3$
totalOm2: 0.32$
keylocal: printf(false, "{/Times Ω_m =~3,f, Ω_Λ= 0, local H_0}", localOm)$
keyglobal: printf(false, "{/Times Ω_m =~3,f, Ω_Λ= 0, global H_0}", globalOm)$
keytotal2: printf(false,
"{/Times Ω_m =~3,f, Ω_Λ=~3,f, local H_0}", totalOm2, 1-totalOm2)$
draw2d(
dimensions = [640, 480],
user_preamble = ["set key bottom right;"],
xlabel = "{/Times z}",
title = "Angular Diameter Distance",
line_width = 1,
line_type = dots,
key = keytotal2,
color = black,
explicit(dAL(totalOm2, z)/1.1, z, 0, 1),
line_width = 2,
line_type = solid,
key = keyglobal,
color = red,
explicit(dA(globalOm, z), z, 0.1, 1),
key = keylocal,
color = blue,
explicit(dA(localOm, z)/1.1, z, 0, 0.1)
)$
