Maxima で3次元球対称空間のクリストッフェルおよびリッチを求める

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  • 2022年5月9日

球対称空間の計量

Maxima の ctensor を使って3次元球対称空間のクリストッフェル記号およびリッチテンソルを求める。

球対称な3次元空間の計量は一般的に

$$g_{ij} dx^i dx^j = A^2(r, t) dr^2 + B^2(r,t) (d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)$$

と書けるだろう。

$\dot{B} = 0$ の場合の球対称空間の計量

$\dot{B} = 0$ として，$ B(t, r) \Rightarrow B(r) \equiv r$ とする。

$$g_{ij} dx^i dx^j = A^2(r, t) dr^2 + r^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)$$

In [1]:
load(ctensor)$

メトリックが対角的なので，入力の簡便性のために load("diag")$ して diag() を使います。

In [2]:
load("diag")$
In [3]:
init_ctensor()$

/* 偏微分表示の簡便性のために */
derivabbrev: true$

/* 次元。デフォルトで 4 */
dim: 3$

/* 座標をリストで */
ct_coords:[r, theta, phi];

/* g_{i j} */
lg:diag([A**2, r**2, r**2*sin(theta)**2]);
depends(A, [t, r])$


/* g^{i j} を計算させておく */
cmetric()$
Out[3]:
\[\tag{${\it \%o}_{6}$}\left[ r , \vartheta , \varphi \right] \]
Out[3]:
\[\tag{${\it \%o}_{7}$}\begin{pmatrix}A^2 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & r^2\,\sin ^2\vartheta \\ \end{pmatrix}\]

クリストッフェル記号

mcs[i,j,k] = $\varGamma^k_{\ \ ij}$

In [4]:
christof(mcs)$
\[\tag{${\it \%t}_{10}$}{\it mcs}_{1,1,1}=\frac{A_{r}}{A}\]
\[\tag{${\it \%t}_{11}$}{\it mcs}_{1,2,2}=\frac{1}{r}\]
\[\tag{${\it \%t}_{12}$}{\it mcs}_{1,3,3}=\frac{1}{r}\]
\[\tag{${\it \%t}_{13}$}{\it mcs}_{2,2,1}=-\frac{r}{A^2}\]
\[\tag{${\it \%t}_{14}$}{\it mcs}_{2,3,3}=\frac{\cos \vartheta}{\sin \vartheta}\]
\[\tag{${\it \%t}_{15}$}{\it mcs}_{3,3,1}=-\frac{r\,\sin ^2\vartheta}{A^2}\]
\[\tag{${\it \%t}_{16}$}{\it mcs}_{3,3,2}=-\cos \vartheta\,\sin \vartheta\]
リッチテンソル
uric[i,j] $\equiv R_i^{\ \ j} = R^j_{\ \ i}$
In [5]:
uricci(true);

\[\tag{${\it \%t}_{17}$}{\it uric}_{1,1}=\frac{2\,A_{r}}{A^3\,r}\]
\[\tag{${\it \%t}_{18}$}{\it uric}_{2,2}=\frac{A_{r}\,r+A^3-A}{A^3\,r^2}\]
\[\tag{${\it \%t}_{19}$}{\it uric}_{3,3}=\frac{A_{r}\,r+A^3-A}{A^3\,r^2}\]
Out[5]:
\[\tag{${\it \%o}_{19}$}\mathbf{done}\]
リッチスカラー
In [6]:
scurvature();

Out[6]:
\[\tag{${\it \%o}_{20}$}\frac{4\,A_{r}\,r+2\,A^3-2\,A}{A^3\,r^2}\]