うなりを三角関数の加法定理から説明するという話。

うなりとは，振動数が（わずかに）異なる2つの波を重ね合わせるとおこる現象。2つの波の振動数の差がうなりの振動数になる。

これを三角関数の加法定理で説明する。簡単のために2つのコサイン波を考える。それぞれの振動数を $f_1, \ f_2$ とすると，コサインの加法定理から得られる以下の式

\begin{eqnarray}
\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha – \beta) &=& \cos\alpha \cos\beta {-} \sin\alpha \sin\beta \\
&& + \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta \\
&=& 2 \cos\alpha \cos\beta
\end{eqnarray}

で， $\alpha + \beta = 2\pi f_1 t, \ \ \alpha – \beta = 2\pi f_2 t $ とおけば

\begin{eqnarray}
\cos (2\pi f_1 t) + \cos (2 \pi f_2 t) &=&
2 \cos \left(2\pi \frac{f_1 + f_2}{2} t\right) \cos \left(2\pi {\color{red}\frac{f_1 – f_2}{2}} t\right)
\end{eqnarray}

が出てくる。これを見ると，一瞬，うなりの振動数は2つの波の振動数の差 $|f_1 – f_2|$ の半分？と思ってしまうが，以下のようにグラフを描いてみると…

$\omega_1 = 2 \pi f_1 = 2 \pi \times 20\, \mbox{(Hz)}, \ \omega_2 = 2 \pi f_2 = 2 \pi \times 19\, \mbox{(Hz)}$ としてグラフを描いてみる。

2つの波の振動数の差の半分 $\displaystyle \frac{|f_1 – f_2|}{2}$ の振動数の波である $\displaystyle 2 \cos \left(2 \pi \frac{f_1-f_2}{2} t\right)$ も赤線で描く。

In [1]:

f1: 20$
f2: 19$
om1: 2*%pi*f1$
om2: 2*%pi*f2$

plot2d([cos(om1*t) + cos(om2*t), 2*cos((om1-om2)/2*t)], [t, -2, 2], 
       [style, lines, [lines, 2]],
       [xlabel, "t"], [ylabel, ""], 
       [legend, "",""])$

上のグラフでは，赤線の山から次の山までの時間である周期が $2$ 秒であり，従って振動するは $0.5$ Hz。でも

$\displaystyle 2 \cos \left(2 \pi \frac{f_1-f_2}{2} t\right)$ というよりも，むしろその絶対値 $\displaystyle 2 \left| \cos \left(2 \pi \frac{f_1-f_2}{2} t\right) \right|$ だよねぇ。

In [2]:

plot2d([cos(om1*t) + cos(om2*t), 2*abs(cos((om1-om2)/2*t))], [t, -2, 2], 
       [style, lines, [lines, 2]],
       [xlabel, "t"], [ylabel, ""], 
       [legend, "",""])$

上のグラフをみると，赤線の山から次の山までの時間である周期は $1$ 秒，したがって振動数は $1$ Hz。確かに2つの波の振動数の差 $20 – 19 = 1\, \mbox{(Hz)}$ になっている。

ということで，うなりの振動数は，三角関数の加法定理的見地からは一瞬，2つの波の振動数の差の半分かも？と思われたが，実際の波形をみると，振幅の変化はその絶対値をとればいいので，結局振動数はその2倍になっている。

つまり，うなりの振動数は「2つの波の振動数の差の半分の2倍」で結局「2つの波の振動数の差」になる。