定曲率3次元空間は共形平坦であることは簡単に証明できそうだが，球対称な3次元空間は必ず共形平坦か，証明できそうにない。どっかにそういう定理とか，ありますかねぇ。
例えば，球対称なシュバルツシルト計量の空間部分
$$d\ell^2 = \frac{dr^2}{1 – \frac{r_g}{r}} + r^2 \left( d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2\right)$$
は，（「場の古典論」など多くのテキストの練習問題にあるように）
$$ r = \rho \left(1 + \frac{r_g}{4 \rho} \right)^2$$
とおけば
$$d\ell^2 = \left(1 + \frac{r_g}{4 \rho} \right)^4 \left(d\rho^2 + \rho^2 d\theta^2 + \rho^2 \sin^2\theta d\phi^2 \right)$$
となる。この時の $\rho, \theta, \phi$ は等方球面座標と呼ばれるらしい。また，
\begin{eqnarray}
x &=& \rho \sin\theta \cos\phi\\
y &=& \rho \sin\theta \sin\phi\\
z &=& \rho \cos\theta
\end{eqnarray}
で定義される等方デカルト座標（「場の古典論」では「等方的ガリレイ座標」と書いている）$x, y, z$ を使えば
$$d\ell^2 = \left(1 + \frac{r_g}{4 \rho} \right)^4 \left(dx^2 + dy^2 + dz^2 \right), \quad \rho = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$
となるだろう。
また，FLRW 計量の空間部分も球対称であり，
$$d\ell^2 = a^2(t) \left( \frac{dr^2}{1 – k r^2} + r^2 \left( d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2\right)\right)$$
は，
$$r = \frac{R}{1 – \frac{k}{4} R^2}$$
とおけば
\begin{eqnarray}
d\ell^2 &=& \frac{a^2(t)}{\left(1 – \frac{k}{4} R^2\right)^2} \left( dR^2 + R^2 \left( d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2\right)\right)\\
&=& \frac{a^2(t)}{\left(1 – \frac{k}{4} R^2\right)^2} \left( dX^2 + dY^2 + dZ^2 \right), \quad R^2 = X^2 + Y^2 + Z^2
\end{eqnarray}
となる。
シュバルツシルト計量も FLRW 計量も，空間部分は共形平坦にできるので，何か，球対称＝共形平坦みないな定理があってもよさそうなのだが，どうでしょうか。