球対称な3次元空間は必ず共形平坦か？

定曲率3次元空間は共形平坦であることは簡単に証明できそうだが，球対称な3次元空間は必ず共形平坦か，証明できそうにない。どっかにそういう定理とか，ありますかねぇ。

例えば，球対称なシュバルツシルト計量の空間部分

$$d{\ell }^2=\frac{d{r}^2}{1–\frac{r_g}{r}}+r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2)$$

は，（「場の古典論」など多くのテキストの練習問題にあるように）

$$r=\rho {(1+\frac{r_g}{4\rho })}^2$$

とおけば

$$d{\ell }^2={(1+\frac{r_g}{4\rho })}^4(d{\rho }^2+{\rho }^{2}d{\theta }^2+{\rho }^2{\sin }^2\theta d{\varphi }^2)$$

となる。この時の $\rho ,\theta ,\varphi$ は等方球面座標と呼ばれるらしい。また，

$$\begin{array}{rcl}x& =& \rho \sin \theta \cos \varphi \\ y& =& \rho \sin \theta \sin \varphi \\ z& =& \rho \cos \theta \end{array}$$

で定義される等方デカルト座標（「場の古典論」では「等方的ガリレイ座標」と書いている）$x,y,z$ を使えば

$$d{\ell }^2={(1+\frac{r_g}{4\rho })}^4(d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2),\rho =\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

となるだろう。

また，FLRW 計量の空間部分も球対称であり，

$$d{\ell }^2=a^2(t)(\frac{d{r}^2}{1–k{r}^2}+r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2))$$

は，

$$r=\frac{R}{1–\frac{k}{4}{R}^2}$$

とおけば

$$\begin{array}{rcl}d{\ell }^2& =& \frac{a^2(t)}{{\left(1–\frac{k}{4}{R}^2\right)}^2}(d{R}^2+R^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2))\\ & =& \frac{a^2(t)}{{\left(1–\frac{k}{4}{R}^2\right)}^2}(d{X}^2+d{Y}^2+d{Z}^2),R^2=X^2+Y^2+Z^2\end{array}$$

となる。

シュバルツシルト計量も FLRW 計量も，空間部分は共形平坦にできるので，何か，球対称＝共形平坦みないな定理があってもよさそうなのだが，どうでしょうか。