Maxima の ctensor で Kottler 計量のチェック

  • Filed under ctensor

  • 2022年2月10日

Kottler spacetime

以下の計量が $G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = 0$ の解であることを確かめる。

$$ f(r) = 1 – \frac{r_g}{r} – \frac{\Lambda}{3} r^2$$$$ds^2 = -f(r) dt^2 + \frac{dr^2}{f(r)}
+ r^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)$$

In [1]:
load(ctensor)$
In [2]:
f: 1 - rg/r - Lambda/3 * r**2;
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{2}$}-\frac{{\it rg}}{r}-\frac{\Lambda\,r^2}{3}+1\]

Maxima は 1 始まりなので，第ゼロ成分を第4成分とする。

csetup(); を使わずに，やってみます。

メトリックが対角的なので，入力の簡便性のために load("diag")$ して diag() を使います。

In [3]:
load("diag")$
In [4]:
init_ctensor()$

/* 偏微分表示の簡便性のために */
derivabbrev:true$
/* 次元。デフォルトで 4 */
dim:4$
/* 座標系をリストで */
ct_coords:[r, theta, phi, t];
/* g_{\mu\nu} */
lg:diag([1/f, r**2, r**2*sin(theta)**2, -f]);
/* g^{\mu\nu} を計算させておく */
cmetric();
Out[4]:
\[\tag{${\it \%o}_{7}$}\left[ r , \vartheta , \varphi , t \right] \]
Out[4]:
\[\tag{${\it \%o}_{8}$}\begin{pmatrix}\frac{1}{-\frac{{\it rg}}{r}-\frac{\Lambda\,r^2}{3}+1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^2\,\sin ^2\vartheta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{{\it rg}}{r}+\frac{\Lambda\,r^2}{3}-1 \\ \end{pmatrix}\]
Out[4]:
\[\tag{${\it \%o}_{9}$}\mathbf{done}\]
In [5]:
einstein(true);
\[\tag{${\it \%t}_{10}$}{\it ein}_{1,1}=-\Lambda\]
\[\tag{${\it \%t}_{11}$}{\it ein}_{2,2}=-\Lambda\]
\[\tag{${\it \%t}_{12}$}{\it ein}_{3,3}=-\Lambda\]
\[\tag{${\it \%t}_{13}$}{\it ein}_{4,4}=-\Lambda\]
Out[5]:
\[\tag{${\it \%o}_{13}$}\mathbf{done}\]
$G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = 0$ より，確かに
 $$G^{\mu}_{\ \ \nu} = – \Lambda \delta^{\mu}_{\ \ \nu}$$
 となっていることがわかる。