すでに以下のページで解いている問題だが，今回は陰関数定理を積極的に使いながらも，手計算のみで求めてみる。
上記のページでは，コンピュータ演習用の問題として考えていたが，あらためて理工系の数学の陰関数定理に関する演習問題としてどうかなと思って。
運動方程式
水平方向を \(x\)，鉛直上向きを \(y\) とすると，運動方程式は重力加速度の大きさを \(g\) として
\begin{eqnarray}
\frac{d^2 x}{dt^2} &=& 0 \\
\frac{d^2 y}{dt^2} &=& -g
\end{eqnarray}
初期条件と解
初期条件を \(t = 0\) で
$$x = 0, \quad y = h, \quad v_x = v_0 \cos\theta, \quad v_y = v_0 \sin \theta$$
としたときの解は
\begin{eqnarray}
x(t, \theta) &=& v_0 \cos\theta\cdot t \\
y(t, \theta) &=& h + v_0 \sin\theta\cdot t -\frac{1}{2} g t^2 \\
v_x(t, \theta) &=& v_0 \cos\theta \\
v_y(t, \theta) &=& v_0 \sin\theta -g t
\end{eqnarray}
滞空時間 $\tau$
$t = 0$ で高さ $h$ の場所から投射して地面 $y=0$ に落ちるまでの滞空時間を $\tau$ とすると
$$y(\tau, \theta) = h + v_0 \sin\theta\cdot \tau -\frac{1}{2} g \tau^2 = 0$$
これは $\tau$ について2次方程式だから解の公式を使って解けるが，ここではあからさまに解かず，$\tau$ は $y(\tau, \theta) = 0$ から決まる $\theta$ の陰関数 $\tau = \tau(\theta)$ とする。
陰関数定理より
$$\frac{d\tau}{d\theta} = – \frac{\frac{\partial}{\partial\theta} y(\tau, \theta)}{\frac{\partial}{\partial\tau} y(\tau, \theta)} = – \frac{v_0 \cos\theta\cdot \tau}{v_0\sin\theta -g \tau}$$
水平到達距離 $\ell$
滞空時間 $\tau$ の間の水平到達距離 $\ell$ は以下のように $\theta$ の関数となる。
$$\ell(\theta) = x(\tau(\theta), \theta)$$
次に使うので，$\ell$ の微分を計算しておく。
\begin{eqnarray}
\frac{d\ell}{d\theta} &=& \frac{\partial}{\partial\theta} x(\tau, \theta)
+ \frac{\partial}{\partial\tau} x(\tau, \theta) \frac{d\tau}{d\theta} \\
&=& -v_0 \sin\theta\cdot \tau + v_0\cos\theta\cdot\left\{ – \frac{v_0 \cos\theta\cdot \tau}{v_0\sin\theta -g \tau}\right\}\\
&=& \frac{-v_0^2 \tau + v_0 \sin\theta\ g \tau^2}{v_0 \sin\theta -g \tau}
\end{eqnarray}
水平到達距離が最大となる角度 $\theta_{\rm m}$
水平到達距離が最大となる角度 $\theta_{\rm m}$ は $\displaystyle \frac{d\ell}{d\theta} = 0$ を満たすので $\tau(\theta_{\rm m}) \equiv \tau_{\rm m}\ (>0)$ として，
\begin{eqnarray}
-v_0^2\, \tau_{\rm m} + v_0 \sin\theta_{\rm m}\, g\, \tau^2_{\rm m} &=& 0 \\
\therefore\ \ \tau_{\rm m} &=& \frac{v_0}{g \sin\theta_{\rm m}}
\end{eqnarray}
これを $y(\tau, \theta)$ に入れて
\begin{eqnarray}
y(\tau_{\rm m}, \theta_{\rm m}) &=&
h + v_0 \sin\theta_{\rm m}\cdot \frac{v_0}{g \sin\theta_{\rm m}} -\frac{1}{2} g \left(\frac{v_0}{g \sin\theta_{\rm m}}\right)^2 \\
&=& h + \frac{v_0^2}{g} -\frac{v_0^2}{2 g} \frac{1}{\sin^2\theta_{\rm m}} \\
&=& 0 \\
\therefore\ \ \sin^2\theta_{\rm m} &=& \frac{v_0^2}{2 v_0^2 + 2 g h} \\
\cos^2\theta_{\rm m} &=& 1 – \sin^2\theta_{\rm m} \\
&=& \frac{v_0^2 + 2 g h}{2 v_0^2 + 2 g h} \\
\therefore\ \ \tan\theta_{\rm m} &=& \sqrt{\frac{v_0^2}{v_0^2 + 2 g h}} \quad < 1 \quad \mbox{for}\quad h > 0
\end{eqnarray}
$h > 0$ に対して，最大水平到達距離を与える $\theta_{\rm m}$ は $45^{\circ}$ より小さくなることがわかる。
最大水平到達距離
最大水平到達距離 $\ell_{\rm m}$ は
\begin{eqnarray}
\ell_{\rm m} &=& x(\tau_{\rm m}, \theta_{\rm m}) \\
&=& v_0 \cos\theta_{\rm m} \cdot \frac{v_0}{g \sin\theta_{\rm m}} \\
&=& \frac{v_0^2}{g} \frac{1}{\tan\theta_{\rm m}} \\
&=& \frac{v_0^2}{g} \sqrt{1 + \frac{2gh}{v_0^2}}
\end{eqnarray}
接地時の角度（俯角）
投射時の角度（仰角）を最大水平到達距離となる角度 $\theta_{\rm m}$ にして投射された物体は，滞空時間 $\tau_{\rm m}$ の後に地面に到達する。この時の角度（俯角）$\theta_{\rm f}$ は
\begin{eqnarray}
v_x(\tau_{\rm m}, \theta_{\rm m}) &=& v_0 \cos\theta_{\rm m} \\
v_y(\tau_{\rm m}, \theta_{\rm m}) &=& v_0 \sin\theta_{\rm m} -g \tau_{\rm m} \\
&=& v_0 \sin\theta_{\rm m} -g \frac{v_0}{\sin\theta_{\rm m}} \\
&=& -\frac{v_0 \cos^2\theta_{\rm m}}{\sin\theta_{\rm m}} \\
\therefore\ \ \tan \theta_{\rm f} &\equiv& \frac{|v_y(\tau_{\rm m}, \theta_{\rm m})|}{v_x(\tau_{\rm m}, \theta_{\rm m})}\\
&=& \frac{1}{\tan\theta_{\rm m}}
\end{eqnarray}
つまり，
$$\theta_{\rm m} + \theta_{\rm f} = \frac{\pi}{2}$$
という関係があることがわかる。なぜかというと，一般に
\begin{eqnarray}
\tan\left(\frac{\pi}{2} -\theta\right) &=&
\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2} -\theta\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2} -\theta\right)} \\
&=& \frac{\cos\left(\theta\right)}{\sin\left( \theta\right)} \\
&=& \frac{1}{\tan\theta}
\end{eqnarray}
だから，$\displaystyle \tan\theta_{\rm f} = \frac{1}{\tan\theta_{\rm m}}$ ということは
\begin{eqnarray}
\theta_{\rm f} &=& \frac{\pi}{2} -\theta_{\rm m} \\
\therefore\ \ \theta_{\rm m} + \theta_{\rm f} &=& \frac{\pi}{2}
\end{eqnarray}
最大到達距離のグラフ例
目盛からわかるように，横軸 $x$，縦軸 $y$ は $h = 0$ の時の最大到達距離 $\displaystyle \frac{v_0^2}{g}$ で規格化された長さになっている。
