静電場を求める際に使った積分は Maxima を数学公式集として使うことで確認できているが，Maxima で解析的に積分できることがわかれば，人力でも解いてみたくなるもの。そのシリーズ第3話は，一様な面電荷による電場を求める際に使った積分。電磁気学というよりは理工系の数学B（微分積分）の演習問題用に。
一様な面電荷による電場で使った積分
$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^2 + (y-y’)^2} dy’ = \frac{\pi}{|x|}$$
これは簡単で以下のように置換積分でいける。変数をちょっと変えて，より一般的シチュエーションにも使えるようにして
\begin{eqnarray}
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^2 + (y-y’)^2} dy’ &\Rightarrow& \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{a^2 + Y^2} dY
\end{eqnarray}
として，$Y \equiv \sqrt{a^2} \tan \theta= |a| \tan \theta$ とおくと，$\displaystyle dY = \frac{|a|}{\cos^2\theta} d\theta$。したがって
\begin{eqnarray}
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{a^2 + Y^2} dY &=& \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{a^2} \frac{1}{1 + \tan^2 \theta} \frac{|a|}{\cos^2\theta} d\theta \\
&=& \frac{1}{|a|} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} d\theta\\
&=& \frac{\pi}{|a|}
\end{eqnarray}
$a \Rightarrow x$ とおけば
$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^2 + (y-y’)^2} dy’ = \frac{\pi}{|x|}$$