FLRW 宇宙
$$ds^2 = a^2(\eta) \left\{ -d\eta^2 + d\chi^2 + \sigma^2(\chi)\left( d\vartheta^2 + \sin^2\vartheta d\phi^2\right)\right\}$$
における動径方向に伝播する光線
$$ k^{\mu} = \left( k^0, k^1, 0, 0\right)$$
の光学スカラー $\theta, \ \sigma$ の計算例。演習問題として。
ヌル測地線方程式を解くと $k_0 = a^2 k^0 = \mbox{const.}, \ k_1 = a^2 k^1 = \mbox{const.}$ となることがわかるのでこの結果を活用しよう。$k_{\mu} = (\mbox{const.}, \mbox{const.}, 0, 0)$ であるから
$$k_{\alpha, \beta} = 0, \quad\therefore\ \ k_{\alpha; \beta} = – \varGamma^{\lambda}_{\ \ \ \alpha\beta} k_{\lambda}= – \frac{1}{2} k^{\lambda} \left( g_{\lambda\alpha, \beta} + g_{\lambda\beta, \alpha} – g_{\alpha\beta, \lambda}\right)$$ となる。
観測者の4元速度 $u^{\mu}$ を
$$u^{\mu} = \left( u^0, 0, 0, 0\right)$$
とすると，$u^{\mu}$に直交する，光の伝播方向を表す空間的単位ベクトル $\gamma^{\mu}$ は
$$\gamma^{\mu} = \left(0, \gamma^1, 0, 0\right)$$
射影演算子 ${}^{(2)}\!P^{\mu}_{\ \ \nu} \equiv \delta^{\mu}_{\ \ \nu} + u^{\mu} u_{\nu} -\gamma^{\mu}\gamma_{\nu}$ は
$${}^{(2)}\!P^{\mu}_{\ \ 0} = 0, \quad {}^{(2)}\!P^{\mu}_{\ \ 1} = 0,
\quad {}^{(2)}\!P^{\mu}_{\ \ 2} = \delta^{\mu}_{\ \ 2}, \quad {}^{(2)}\!P^{\mu}_{\ \ 3} = \delta^{\mu}_{\ \ 3}$$
であることを簡単に確認できるから，光学スカラーを計算するために必要な
\begin{eqnarray}
{}^{(2)}\!k_{\mu ; \nu} &\equiv& k_{\alpha ; \beta} {}^{(2)}\!P^{\alpha}_{\ \ \mu}{}^{(2)}\!P^{\beta}_{\ \ \nu} \\
k_{\alpha ; \beta} &=& k_{\alpha , \beta} – \varGamma^{\lambda}_{\ \ \alpha\beta} k_{\lambda} \\
&=& – \frac{1}{2} k^{\lambda} \left( g_{\lambda\alpha, \beta} + g_{\lambda\beta, \alpha} – g_{\alpha\beta, \lambda}\right)
\end{eqnarray}
のうち，
$${}^{(2)}\!k_{0 ; \nu} = {}^{(2)}\!k_{\nu ; 0} = 0, \quad {}^{(2)}\!k_{1 ; \nu} = {}^{(2)}\!k_{\nu ; 1} = 0$$
となるから，必要なのは以下の3つだけ。計算時間の節約！
\begin{eqnarray}
{}^{(2)}\!k_{2;2}
&=& -\frac{1}{2} k^{\mu} \left( g_{\mu 2, 2} + g_{\mu 2, 2} – g_{22, \mu} \right) \\
&=& \frac{1}{2} \left( k^0 g_{22, 0} + k^{1} g_{22, 1} \right)\\
&=& \frac{1}{2} \frac{d}{dv} \left(a(\eta) \sigma(\chi)\right)^2 \\
{}^{(2)}\!k_{2;3} &=& {}^{(2)}\!k_{3;2} = -\frac{1}{2} k^{\mu} \left( g_{\mu 2, 3} + g_{\mu 3, 2} – g_{23, \mu} \right) = 0 \\
{}^{(2)}\!k_{3;3} &=& -\frac{1}{2} k^{\mu} \left( g_{\mu 3, 3} + g_{\mu 3, 3} – g_{33, \mu} \right) \\
&=& \frac{1}{2} \left( k^0 g_{33, 0} + k^1 g_{33, 1}\right) \\
&=& \frac{1}{2} \frac{d}{dv} \left(a(\eta) \sigma(\chi)\right)^2 \cdot \sin^2\vartheta
\end{eqnarray}
したがって
\begin{eqnarray}
{}^{(2)}\!k^2_{\ \ ;2}
&=& \frac{1}{\left(a(\eta) \sigma(\chi)\right)^2} \frac{1}{2} \frac{d}{dv} \left(a(\eta) \sigma(\chi)\right)^2 \\
&=& \frac{1}{a \sigma} \frac{d}{dv} \left(a \sigma\right)\\
{}^{(2)}\!k^3_{\ \ ;3} &=& \frac{1}{a \sigma} \frac{d}{dv} \left(a \sigma\right)
\end{eqnarray}
光学スカラーは
\begin{eqnarray}
\theta &=& \frac{1}{2} {}^{(2)}\!k^{\mu}_{\ \ ;\mu} = \frac{1}{2}\left( {}^{(2)}\!k^2_{\ \ ;2} + {}^{(2)}\!k^3_{\ \ ;3}\right) \\
&=& \frac{1}{a \sigma} \frac{d}{dv} \left(a \sigma\right) \\
\sigma^2 &=& \frac{1}{2} {}^{(2)}\!k^{\mu}_{\ \ ;\nu} {}^{(2)}\!k^{\nu}_{\ \ ;\mu} – \theta^2 \\
&=& \frac{1}{2} \left( {}^{(2)}\!k^2_{\ \ ;2} {}^{(2)}\!k^2_{\ \ ;2} + {}^{(2)}\!k^3_{\ \ ;3} {}^{(2)}\!k^3_{\ \ ;3} \right)
– \left\{ \frac{1}{a \sigma} \frac{d}{dv} \left(a \sigma\right)\right\}^2\\
&=& \left\{ \frac{1}{a \sigma} \frac{d}{dv} \left(a \sigma\right)\right\}^2
-\left\{ \frac{1}{a \sigma} \frac{d}{dv} \left(a \sigma\right)\right\}^2\\
&=& 0
\end{eqnarray}
ちなみに，\(\theta\) だけを求めるのであれば，計量テンソルの行列式
\begin{eqnarray}
g &\equiv& \det(g_{\mu\nu})\\
&=& g_{00}\cdot g_{11}\cdot g_{22}\cdot g_{33} \\
&=& – a^8 \sigma^4 \sin^2\vartheta
\end{eqnarray}
を使って，
\begin{eqnarray}
k^{\mu}_{\ \ ;\mu} &=& \frac{1}{\sqrt{-g}} \left( \sqrt{-g} k^{\mu}\right)_{, \mu} \\
&=& \frac{1}{a^4\sigma^2 \sin\vartheta}
\left\{ \left( a^4\sigma^2 \sin\vartheta \,k^0\right)_{,0} +
\left( a^4\sigma^2 \sin\vartheta \,k^1\right)_{,1}\right\} \\
&=& \frac{1}{a^4\sigma^2} \left\{ a^2 k^0 \left( a^2\sigma^2 \right)_{,0} +
a^2 k^1\left( a^2\sigma^2\right)_{,1}\right\} \\
&=& \frac{1}{a^2 \sigma^2} \frac{d}{dv} \left(a \sigma \right)^2\\
&=& 2 \frac{1}{a \sigma} \frac{d}{dv} \left(a \sigma \right) \\
\ \\
\therefore\ \ \theta &=& \frac{1}{2}k^{\mu}_{\ \ ;\mu} \\
&=& \frac{1}{a \sigma} \frac{d}{dv} \left(a \sigma \right)
\end{eqnarray}
と計算できる。以下の関係を使ってアフィンパラメータ微分にするのが吉。（だが，$\sigma$ も計算するとなると，これだけではだめ。）
$$k^0 \frac{\partial}{\partial x^0} + k^1 \frac{\partial}{\partial x^1} = \frac{dx^{\mu}}{dv} \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} = \frac{d}{dv}$$
追記：
$2 + 1+1$ 分解のことを知らなければ，
\begin{eqnarray}
\theta &\equiv& \frac{1}{2} k^{\mu}_{\ \ ;\mu} \\
\sigma^2 &\equiv& \frac{1}{2} k^{\mu}_{\ \ ;\nu}k^{\nu}_{\ \ ;\mu} – \theta^2
\end{eqnarray}
であるから，$k_{\mu; \nu}$ の全成分を計算することになろう。実直にやると計算する量も多くなり，計算時間もかかる。
\begin{eqnarray}
k_{\alpha ; \beta} &=& k_{\alpha , \beta} – \varGamma^{\lambda}_{\ \ \alpha\beta} k_{\lambda} \\
&=& – \frac{1}{2} k^{\lambda} \left( g_{\lambda\alpha, \beta} + g_{\lambda\beta, \alpha} – g_{\alpha\beta, \lambda}\right)
\end{eqnarray}
のうち，上で計算していない成分は
\begin{eqnarray}
k_{0;0} &=& -\frac{1}{2} k^{\mu} \left(g_{\mu 0, 0} + g_{\mu 0, 0} – g_{0 0, \mu}\right) \\
&=& -\frac{1}{2} k^0 g_{00, 0} \\
&=& k^0 a a’ \\
k_{0;1} &=& -\frac{1}{2} k^{\mu} \left(g_{\mu 0, 1} + g_{\mu 1, 0} – g_{0 1, \mu}\right)\\
&=& -\frac{1}{2} k^1 g_{11, 0} \\
&=& – k^1 a a’ \\
k_{0;2} &=&0 \\
k_{0;3} &=&0 \\
k_{1;1} &=& -\frac{1}{2} k^{\mu} \left(g_{\mu 1, 1} + g_{\mu 1, 1} – g_{1 1, \mu}\right)\\
&=& \frac{1}{2} k^0 g_{11,0} \\
&=& k^0 a a’ \\
k_{1;2} &=& 0\\
k_{1;3} &=& 0
\end{eqnarray}
これらの成分を使って $\mu, \nu = 0, \dots 3$ で光学スカラーを計算してやると…
\begin{eqnarray}
2 \theta &=& k^{\mu}_{\ \ ;\mu} \\
&=& k^{0}_{\ \ ;0} +k^{1}_{\ \ ;1} + k^{2}_{\ \ ;2} + k^{3}_{\ \ ;3} \\
&=& – \frac{1}{a^2} k^0 a a’ + \frac{1}{a^2} k^0 a a’+ k^{2}_{\ \ ;2} + k^{3}_{\ \ ;3} \\
&=& k^{2}_{\ \ ;2} + k^{3}_{\ \ ;3}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
2\sigma^2 &=& k^{\mu}_{\ \ ;\nu}k^{\nu}_{\ \ ;\mu} – 2 \theta^2\\
&=& \left(k^0_{\ \ ;0}\right)^2 + 2 k^0_{\ \ ;1}k^1_{\ \ ;0} + \left(k^1_{\ \ ;1}\right)^2 + \left(k^2_{\ \ ;2}\right)^2 + \left(k^3_{\ \ ;3}\right)^2 – 2 \theta^2 \\
&=& 2 \left( \frac{a’}{a}\right)^2\left\{ (k^0)^2 – (k^1)^2\right\} + \left(k^2_{\ \ ;2}\right)^2 + \left(k^3_{\ \ ;3}\right)^2 – 2 \theta^2 \\
&=& \left(k^2_{\ \ ;2}\right)^2 + \left(k^3_{\ \ ;3}\right)^2 – 2 \theta^2 \\
\end{eqnarray}
となり，実質的に $k_{2;2}, k_{2;3}, k_{3;3}$ だけの計算でよいことがわかる。