Maxima-Jupyter で楕円の面積を求める

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  • 2022年3月7日

面積速度一定則の際に楕円の面積を使ったので念のため。また，積分の授業の例題用として。

楕円の中心を原点としたデカルト座標で面積を求める

楕円の中心を原点としたデカルト座標を $X, Y$ とすると，長半径 $a$，短半径 $b$ （離心率 $e$ を使って書くと $b = a \sqrt{1-e^2}$）の楕円の式は

$$ \frac{X^2}{a^2} + \frac{Y^2}{b^2} = 1$$

この式を $Y$ について解き，2次方程式だから解が2つあるので $Y_1(X), Y_2(X)\  (> Y_1(X))$ とおき，
$$ S = \int_{-a}^{a} (Y_2 – Y_1)\, dX$$
から楕円の面積を求める。

In [1]:
eq: X**2/a**2 + Y**2/b**2 = 1;
Out[1]:
\[\tag{${\it \%o}_{1}$}\frac{Y^2}{b^2}+\frac{X^2}{a^2}=1\]
In [2]:
sol: solve(eq, Y);
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{2}$}\left[ Y=-\frac{\sqrt{a^2-X^2}\,b}{a} , Y=\frac{\sqrt{a^2-X^2}\,b}{a} \right] \]
In [3]:
Y1: rhs(sol[1]);
Y2: rhs(sol[2]);
Out[3]:
\[\tag{${\it \%o}_{3}$}-\frac{\sqrt{a^2-X^2}\,b}{a}\]
Out[3]:
\[\tag{${\it \%o}_{4}$}\frac{\sqrt{a^2-X^2}\,b}{a}\]

楕円の面積は，$Y = Y_2, Y = Y_1, X = -a, X = a$ で囲まれた部分の面積であるから…

In [4]:
assume(a > 0)$ /* a は正と仮定。 */
S: integrate(Y2 - Y1, X, -a, a);
Out[4]:
\[\tag{${\it \%o}_{6}$}\pi\,a\,b\]

短半径 $b$ を $b = a \sqrt{1-e^2}$ で表すと…

In [5]:
ev(S, b = a*sqrt(1-e**2));
Out[5]:
\[\tag{${\it \%o}_{7}$}\pi\,a^2\,\sqrt{1-e^2}\]

離心近点離角 $u$ を使った媒介変数表示で面積を求める

楕円の中心を原点としたデカルト座標 $X, Y$ を媒介変数 $u$ で表すと

\begin{eqnarray}
X &=& a \cos u\\
Y &=& b \sin u
\end{eqnarray}$$ S = 2 \int_{-a}^a Y\, dX = 2 \int_{\pi}^0 Y(u) \frac{dX}{du} du$$

In [6]:
X: a * cos(u)$
Y: b * sin(u)$

S: 2 * integrate(Y*diff(X, u), u, %pi, 0);
ev(S, b = a*sqrt(1-e**2));
Out[6]:
\[\tag{${\it \%o}_{10}$}\pi\,a\,b\]
Out[6]:
\[\tag{${\it \%o}_{11}$}\pi\,a^2\,\sqrt{1-e^2}\]

楕円の焦点を原点としたデカルト座標 $x, y$ を媒介変数 $u$ で表すと

\begin{eqnarray}
x &=& X – a e = a(\cos u – e)\\
y &=& Y = b \sin u
\end{eqnarray}$$ S = 2 \int_{-a-ae}^{a-ae} y \, dx = 2 \int_{\pi}^0 y(u) \frac{dx}{du} du = 2 \int_{\pi}^0 Y(u) \frac{dX}{du} du$$

となり，上記の楕円の中心としたデカルト座標 $X, Y$ の媒介変数表示版と答えは同じになることがわかる。