すでに以下のページで陰関数定理を使って解いている問題だが，今回はラグランジュの未定乗数法を使って解いてみる。
初期条件と解
初期条件を \(t = 0\) で
$$x = 0, \quad y = h, \quad v_x = v_0 \cos\theta, \quad v_y = v_0 \sin \theta$$
としたときの解は
\begin{eqnarray}
x(t, \theta) &=& v_0 \cos\theta\cdot t \\
y(t, \theta) &=& h + v_0 \sin\theta\cdot t -\frac{1}{2} g\, t^2
\end{eqnarray}
滞空時間 $\tau$
$t = 0$ で高さ $h$ の場所から投射して地面 $y=0$ に落ちるまでの滞空時間を $\tau$ とすると
$$y(\tau, \theta) = 0$$
水平到達距離
滞空時間 $\tau$ の間の水平到達距離 $\ell$ は
$$\ell(\tau, \theta) = x(\tau, \theta) $$
水平到達距離が最大となる角度をラグランジュの未定乗数法で
水平到達距離が最大となる打ち出し角度 $\theta$ は，
$$F(\tau, \theta, \lambda) \equiv x(\tau, \theta) + \lambda\, y(\tau, \theta)$$
と定義した $F(\tau, \theta, \lambda)$ について
\begin{eqnarray}
\frac{\partial F}{\partial \tau} &=& \frac{\partial x}{\partial \tau} + \lambda \frac{\partial y}{\partial \tau}
= v_0 \cos\theta + \lambda\, \left( v_0 \sin\theta -g\, \tau\right) = 0\tag{1} \\
\frac{\partial F}{\partial \theta} &=& \frac{\partial x}{\partial \theta} + \lambda \frac{\partial y}{\partial \theta}
=-v_0 \sin\theta\cdot \tau + \lambda \left( v_0 \cos\theta\cdot \tau\right) = 0 \tag{2} \\
\frac{\partial F}{\partial \lambda} &=& h + v_0 \sin\theta\cdot\tau -\frac{1}{2} g\,\tau^2 = 0 \tag{3}
\end{eqnarray}
を解けばよい。
まず $(2)$ 式より
$$\lambda = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $$
これを $(1)$ 式に代入して
\begin{eqnarray}
v_0 \cos\theta + \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \left( v_0 \sin\theta -g\, \tau\right)
&=& \frac{1}{\cos\theta} \left\{v_0 -\sin\theta\cdot g\,\tau \right\} \\
&=& 0 \\
\therefore\ \ \tau &=& \frac{v_0}{g\,\sin\theta}
\end{eqnarray}
これを $(3)$ 式に代入すると
\begin{eqnarray}
h + v_0 \sin\theta\cdot\frac{v_0}{g\,\sin\theta} -\frac{1}{2} g\left( \frac{v_0}{g\,\sin\theta}\right)^2 &=&
h + \frac{v_0^2}{g} -\frac{1}{2 g} \frac{v_0^2}{\sin^2\theta} \\
&=& 0 \\
\therefore \ \ \sin^2\theta &=& \frac{\dfrac{v_0^2}{2 g}}{h + \dfrac{v_0^2}{g}} = \frac{v_0^2}{2 v_0^2 + 2 g h} \\
\cos^2\theta &=& 1 -\sin^2\theta = \frac{v_0^2+ 2 g h}{2 v_0^2 + 2 g h} \\
\therefore\ \ \tan\theta &=& \sqrt{\dfrac{v_0^2}{v_0^2+ 2 g h}}
\end{eqnarray}
水平到達距離を最大にする打ち出し角度 $\theta$ が求まれば，あとは「高さ h からの斜方投射の問題を陰関数定理を使って解いてみる」と同じように，最大水平到達距離や接地時の俯角なども求まる。
