ニュートン宇宙論

ニュートン力学の運動方程式万有引力の法則から,(一般相対論を使わずに)宇宙の膨張を記述するフリードマン方程式を導く。

ここでは4元ベクトルの出番はなく,すべて3次元ベクトル。なので,太字でベクトルを表し,
$$\boldsymbol{v} = (v_x, v_y, v_z)$$などと書くことにする。

万有引力の法則と運動方程式

宇宙空間のどこかに原点を設定し,そこからの位置ベクトル \(\boldsymbol{r}\) の地点にある質量 \(m\) のテスト粒子に対する運動方程式は
$$m \frac{d^2\boldsymbol{r}}{dt^2} = \boldsymbol{F} = m \boldsymbol{g}$$

ここで \(\boldsymbol{g}\) は重力加速度ベクトルであり,以下の方程式から決まる。

\begin{eqnarray}
\nabla\cdot\boldsymbol{g} &=& -4 \pi G \rho \\
\boldsymbol{g} &\equiv& – \nabla\phi \\
\therefore\ \ \nabla^2 \phi &=& 4\pi G \rho
\end{eqnarray}
ここで \(\rho\) は質量密度分布である。(補足を参照。)

ハッブル=ルメートルの法則と「宇宙原理」の仮定

ハッブル=ルメートルの法則とは,遠方の(おおむね 10メガパーセク以上離れた)銀河の後退速度が距離に比例する,という観測値の間の関係式である。

銀河までの距離を \(R\) とすると,この法則は
$$\frac{dR}{dt} \propto R$$と書ける。

この法則に,「大きなスケールでみれば,宇宙は一様(場所によらない)かつ等方(方向によらない)である」という「宇宙原理」の仮定を加えると,以下のようになる。

まず,ハッブル=ルメートルの法則等方であるとすると,空間3方向について,(3方向別々ではなく)共通の比例項(比例「定数」ではない)\(H\) を使って
$$\frac{d\boldsymbol{r}}{dt} = H(t, \boldsymbol{r}) \boldsymbol{r}$$

と書けるだろう。さらにこの法則は一様であるとすると,\( H(t, \boldsymbol{r})\) は場所によらないとすべきであり,
$$H(t, \boldsymbol{r}) \Rightarrow H(t)$$となる。せいぜい依存してもよいのは \(t\) だけであり,空間依存性はない,とするのが一様性の仮定である。

あらためて \(\displaystyle H(t) \equiv \frac{\dot{a}}{a}\) とおくとハッブル=ルメートルの法則
$$ \dot{\boldsymbol{r}} = \frac{\dot{a}}{a} \boldsymbol{r}$$となり,これは以下のように解くことができる。

$$\boldsymbol{r} = a(t) \boldsymbol{x}, \quad \frac{d\boldsymbol{x}}{dt} = \boldsymbol{0}$$

まとめると,ハッブル=ルメートルの法則という観測量の間の関係式に,(作業仮説としての)「宇宙原理」を仮定することによって,宇宙空間の銀河の位置を表す位置ベクトル \(\boldsymbol{r}\) はスケール因子 \(a(t)\) と時間的に変化しない座標 \(\boldsymbol{x}\) を使って,
$$\boldsymbol{r} = a(t) \boldsymbol{x}$$
と書けることになる。(流体力学的に言えば \(\boldsymbol{r}\) がオイラー座標,\(\boldsymbol{x}\) がラグランジュ座標。また,宇宙論では \(\boldsymbol{x}\) を特に共動座標という。)

質量保存則と「宇宙原理」の仮定

半径 \(r\) 内の全質量 \(M_r\) は時間的に変化しない,というのが質量保存則である。一様性の仮定をすると,物質密度分布 \(\rho\) は空間依存性をもたないことになり,
\begin{eqnarray}
\frac{d M_r}{dt} &=& \frac{d}{dt} \iiint_V \rho(t) dV \\
&=& \frac{d}{dt} \left(\frac{4\pi}{3} r^3 \rho(t) \right) \\
&=& \frac{d}{dt} \left(\frac{4\pi}{3} a^3 |\boldsymbol{x}|^3  \rho(t) \right) = 0
\end{eqnarray}
$$\therefore \ \ \frac{d}{dt} (\rho a^3) = 0, \quad\mbox{or}\quad
\dot{\rho} + 3 \frac{\dot{a}}{a} \rho = 0 \tag{1}$$

「宇宙原理」による万有引力の法則と運動方程式

一様な質量密度分布の場合は(球対称分布の場合の式がそのまま使えて)運動方程式は

$$m\frac{d^2\boldsymbol{r}}{dt^2}  = \boldsymbol{F}$$

左辺は

$$m\frac{d^2\boldsymbol{r}}{dt^2} = m \boldsymbol{x} \frac{d^2 a}{dt^2}$$

右辺は(連続的な質量分布の場合の \(\boldsymbol{F}\) については補足を参照)

\begin{eqnarray}
\boldsymbol{F} &=& – \frac{GM_r m }{r^3} \boldsymbol{r}\\
&=& – m \frac{4\pi G \rho a^3 |\boldsymbol{x}|^3}{3} \frac{a \boldsymbol{x}}{a^3 |\boldsymbol{x}|^3} \\
&=& -m \boldsymbol{x}\frac{4\pi G \rho a}{3}
\end{eqnarray}

最終的に
$$\ddot{a} = – \frac{4\pi G}{3} \rho a, \quad \mbox{or}\quad \frac{\ddot{a}}{a} = – \frac{4\pi G}{3} \rho \tag{2}$$

さらに \((2)\) 式の両辺に \(2 \dot{a}\) をかけると,
\begin{eqnarray}
2 \dot{a} \ddot{a} = \frac{d}{dt}\left(\dot{a}^2\right) &=& – \frac{8\pi G}{3} \rho a \dot{a} \\
&=& – \frac{8\pi G}{3} (\rho a^3) \frac{\dot{a}}{a^2}\\
&=& \frac{8\pi G}{3} (\rho a^3) \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{a}\right)\\
&=& \frac{d}{dt}\left(\frac{8\pi G}{3} (\rho a^3) \frac{1}{a}\right) \\
&=& \frac{d}{dt}\left(\frac{8\pi G}{3} \rho a^2\right)
\end{eqnarray}

ここで \( \displaystyle \frac{d}{dt} (\rho a^3) = 0\) を使った。
\begin{eqnarray}
\therefore\ \ \frac{d}{dt} \left( \dot{a}^2 – \frac{8\pi G}{3} \rho a^2\right) &=& 0 \\
\therefore\ \ \dot{a}^2 – \frac{8\pi G}{3} \rho a^2 &=& \mbox{const.} \equiv -k
\end{eqnarray}

両辺を \(a^2\) で割って,適宜移項してやると
$$\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 + \frac{k}{a^2} = \frac{8\pi G}{3} \rho \tag{3}$$

これがスケール因子 \(a(t)\),ひいては膨張宇宙の現在・過去・未来を決める方程式であり,一般相対論的宇宙論においてはフリードマン方程式という名前がつけられている。

ここまでのまとめ

ニュートン宇宙論において得られた式を式番号同じのまま,ここにまとめておく。

$$\dot{\rho} + 3 \frac{\dot{a}}{a} \rho = 0 \tag{1}$$
$$\quad \frac{\ddot{a}}{a} = – \frac{4\pi G}{3} \rho \tag{2}$$
$$\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 + \frac{k}{a^2} = \frac{8\pi G}{3} \rho \tag{3}$$

ここで,\(\rho(t)\) は物質密度分布であり,「宇宙原理」の仮定により一様で空間依存性をもたない。 \(a(t)\) はスケール因子であり,時間的に一定な共動座標 \(\boldsymbol{x}\) に因子としてかけられ,空間座標 \(\boldsymbol{r}\) を表す:\(\boldsymbol{r} = a(t) \boldsymbol{x}\)。

これらの式は,一般相対論的宇宙論においても,ダスト物質の場合はそのままの形で成り立つ。(ただし,ニュートン宇宙論においては単なる積分定数だった \(k\) が一般相対論的宇宙論においては3次元空間の曲率定数という解釈となるなど,解釈に微妙な違いがでてくるかもしれないが。)

ここまでくると,解くべき方程式は一般相対論的宇宙論におけるフリードマン方程式と全く同じであるから,ニュートン宇宙論のセクションはこれくらいにして,あとは一般相対論的宇宙論のほうで話を続けよう。

補足:連続的な質量分布の場合の万有引力の法則

(離散的な)質点間にはたらく万有引力の法則が,連続的な質量密度分布の場合にはどうなるか,特に,質量密度分布が球対称な場合はどうなるか,という話。