一次元波動方程式に関連して,偏微分の規則について質問があったので補足。
(1)
上の一次元波動方程式を解く際,以下のような変数変換を行う。
(2)
もともと の関数である
は変数変換すると,
の関数
になるので,合成関数の偏微分の規則にしたがって,
(3)
変数変換の式から,
(4)
(5)
なので,
(6)
これが任意の について成り立つのだから,
(7)
についても同様。
また,この変数変換の逆変換とは, を
で表すことであり,以下のようになる。
(8)
もともと の関数であった関数は
と
の関数とみなされるので,合成関数の偏微分の規則により,
(9)
(10)
したがって,
(11)
(12)