大変だという話。授業で話したんだけど，「陽関数で解けるのに，なぜ（わざわざ）陰関数定理やラグランジュの未定乗数法を使って解こうとするんですか？」みたいな表情を返されたので。
いやいや，「陽関数を使って解こうとすると大変で途方にくれそうな問題も，陰関数定理やラグランジュの未定乗数法を使えば簡単に解けるんですよ！」ということを言いたい。
以下のページも参照：
高さ $h$ からの斜方投射の解
\begin{eqnarray}
x(t, \theta) &=& v_0 \cos\theta\cdot t \\
y(t, \theta) &=& h + v_0 \sin\theta\cdot t – \frac{1}{2} g \,t^2
\end{eqnarray}
滞空時間 $\tau(\theta)$
滞空時間 $\tau(\theta)$ とは $t=0$ で投射してから $y=0$ になるまでの時間である。$y(\tau, \theta) = 0$ を満たす陽関数 $\tau(\theta)$ を求める。
\begin{eqnarray}
y(\tau, \theta) &=& h + v_0 \sin\theta\cdot \tau – \frac{1}{2} g\,\tau^2 = 0
\end{eqnarray}
$\tau$ についての2次方程式だから解の公式から
\begin{eqnarray}
\tau &=& \frac{-v_0 \sin\theta \pm \sqrt{v_0^2 \sin^2\theta + 2 g h}}{-g}
\end{eqnarray}
$\tau(\theta) > 0$ であるから
$$\tau(\theta) = \frac{v_0 \sin\theta+ \sqrt{v_0^2 \sin^2\theta + 2 g h}}{g}$$
$\tau(\theta)$ が陽関数として，変数 $\theta$ であからさまに表されている。
水平到達距離 $\ell(\theta)$
水平到達距離 $\ell(\theta)$ とは滞空時間 $\tau(\theta)$ の間に水平方向 ($x$ 方向) に進む距離であり，
\begin{eqnarray}
\ell(\theta) &=& x(\tau(\theta), \theta) \\
&=& \frac{v_0}{g} \cos\theta\cdot\left(v_0 \sin\theta + \sqrt{v_0^2 \sin^2\theta + 2 g h} \right)
\end{eqnarray}
$h =0$ のときの最大水平到達距離
$h=0$ のときは
\begin{eqnarray}
\ell(\theta)
&=& \frac{v_0}{g} \cos\theta\cdot 2 v_0 \sin\theta \\
&=&\frac{v_0^2}{g} \sin 2\theta
\end{eqnarray}
$\ell(\theta)$ が最大となる $\theta$ は見るからに明らかだが，念のため
\begin{eqnarray}
\frac{d}{d\theta}\ell(\theta) &=& 2 \frac{v_0^2}{g} \cos 2\theta = 0 \quad\mbox{より}\\
\theta &=& \frac{\pi}{4}
\end{eqnarray}
$h \neq 0$ の場合には…
$h \neq 0$ の場合にも，原理的には同じで $\dfrac{d}{d\theta}\ell(\theta) = 0$ となる $\theta$ を求めればいいのであるが，以下の計算…
$$\frac{d}{d\theta}\ell(\theta) = \frac{v_0}{g}\frac{d}{d\theta}\left\{ \cos\theta\cdot\left(v_0 \sin\theta + \sqrt{v_0^2 \sin^2\theta + 2 g h} \right)\right\} = \cdots$$
やる気ありますか？全然先が見えないんだけど…
「高さ h からの斜方投射の最大到達距離は角度45°のときではない」のページでは（変数を無次元化後）頑張って解いているけど，今見返してみても，もう一度やれと言われたらちょっとやる気がおきない…
このような拘束条件 $y(\tau(\theta), \theta) = 0$ がある場合の関数 $x(\tau(\theta), \theta)$ の極値を求める問題は，$y(\tau(\theta), \theta) = 0$ を満たす陽関数 $\tau(\theta)$ を使うよりも，$\tau(\theta)$ を $y(\tau(\theta), \theta) = 0$ を満たす陰関数のまま，陰関数定理を使ったり，あるいはラグランジュの未定乗数法を使って，よりシステマティックに（ある意味機械的に）解いた方が結構簡単であるんだよ。
以下のページも参照：