対称な n 次正方行列の独立な成分の個数は？

問題 1

4次元時空の計量テンソルの成分は対称であり，対称な4次正方行列とみなせる。

$$g_{\mu \nu }=g_{\nu \mu }$$

たとえば，$g_{12}=g_{21}$ なので，2つの成分 $g_{12},g_{21}$ については，独立な成分の個数としては $2$ ではなく $1$ となる。では，4次元計量テンソルの独立な成分の個数は何個か？

$$\begin{array}{rcl}{g}_{\mu \nu }& =& \left(\begin{array}{cccc}{g}_{00}& g_{01}& g_{02}& g_{03}\\ g_{10}& g_{11}& g_{12}& g_{13}\\ g_{20}& g_{21}& g_{22}& g_{23}\\ g_{30}& g_{31}& g_{32}& g_{33}\end{array}\right)\end{array}$$

問題 2

次の動画を見て，対称な $n$ 次正方行列の独立な成分の個数を $n$ で表せ。（$n=4$ の場合は問題 1 の答えになることも確認するんですよ。）

問題 3