問題 1
4次元時空の計量テンソルの成分は対称であり，対称な4次正方行列とみなせる。
$$g_{\mu\nu} = g_{\nu\mu}$$
たとえば，$g_{12} = g_{21}$ なので，2つの成分 $g_{12},\, g_{21}$ については，独立な成分の個数としては $2$ ではなく $1$ となる。では，4次元計量テンソルの独立な成分の個数は何個か？
\begin{eqnarray}
g_{\mu\nu} &=&
\left( \begin{array}{cccc}g_{00} & {\color{yellow}g_{01}} & {\color{yellow}g_{02}} & {\color{yellow}g_{03}} \\
g_{10} & g_{11} & {\color{yellow}g_{12}} & {\color{yellow}g_{13}} \\
g_{20} & g_{21} & g_{22} & {\color{yellow}g_{23}} \\
g_{30} & g_{31} & g_{32} & g_{33}
\end{array} \right)
\end{eqnarray}
問題 2
次の動画を見て，対称な $n$ 次正方行列の独立な成分の個数を $n$ で表せ。（$n=4$ の場合は問題 1 の答えになることも確認するんですよ。）
問題 3
では，\(n \times n\) 反対称行列の独立な成分の個数はいくつか？
ヒント：任意の \(n\) 次正方行列 \(A_{\mu\nu}\) は以下のように対称部分と反対称部分にわけることができる。
\begin{eqnarray}
A_{\mu\nu} &=& {\color{blue}{\frac{1}{2} \left(A_{\mu\nu} + A_{\nu\mu}\right)}} +
{\color{red}{\frac{1}{2} \left(A_{\mu\nu} – A_{\nu\mu}\right)}} \\
&\equiv& {\color{blue}{A_{(\mu\nu)}}} + {\color{red}{A_{[\mu\nu]} }}\\
A_{(\mu\nu)} &=& A_{(\nu\mu)} \\
A_{[\mu\nu]} &=& -A_{[\nu\mu]}
\end{eqnarray}
A_{\mu\nu} &=& {\color{blue}{\frac{1}{2} \left(A_{\mu\nu} + A_{\nu\mu}\right)}} +
{\color{red}{\frac{1}{2} \left(A_{\mu\nu} – A_{\nu\mu}\right)}} \\
&\equiv& {\color{blue}{A_{(\mu\nu)}}} + {\color{red}{A_{[\mu\nu]} }}\\
A_{(\mu\nu)} &=& A_{(\nu\mu)} \\
A_{[\mu\nu]} &=& -A_{[\nu\mu]}
\end{eqnarray}