コメントへの対応

朝永君への私信。

「彼」のコメントの要点はざっと3つ。

1つめは，${\mathrm{\Sigma }}_t$ の定義の説明がない，というクレーム。

これはまったく言いがかりとしか思えない。既にメトリックは Sec. 2 の (2), (6)~(9) 式で与えられていて，Sec. 3 の (39) 式の前に $t=\text{const.}$ hypersurface と言っているのだから，${\mathrm{\Sigma }}_t$ は normal vector field

$$n^{\mu }=(1–A,\frac{1}{a^2}{\delta }^{ij}{B}_{,j})$$

で specify される超曲面であることは明らか。この ${\mathrm{\Sigma }}_t$ 上の有限で小さい領域を $D$ とし，ここでの平均化に使われるメトリックは (9) 式にあるように

$$g_{ij}=a^2({\delta }_{ij}+2E_{,ij}+2F{\delta }_{ij})$$

ここまでは “no gauge-fixing is made”

もし，$B=E=0$  というゲージをとれば [39] になるし，$A=B=0,v=0$ とすれば [36] になる。

2つめは (40) が gauge-invariant でない，というクレーム。これも言いがかり。我々は (40) や (41) が gauge-invariant だとは一言も言っていない。我々が言ってるのは  (43) の平均

$$⟨\varrho ⟩=⟨{\rho }_b+{\rho }_b\Delta ⟩={\rho }_b+{\rho }_b⟨\Delta ⟩$$

がゲージ不変量で書けているということだけ。

3つめは，(45) 式を出すのに，commutation rule 使ってるんじゃないの，というクレーム。これも言いがかり。我々はちゃんと “it is straightforward to show from (42) …” と書いている。ちゃんと計算すると，1次のオーダーで (45) 式になりますよ，と書いてるでしょ。

以上，3つのクレームについては，我々がすでにオリジナルのmanuscript にちゃんと記載していることを読めばわかる類の言いがかりである。しかし，（「彼」のように）不用意な勘違いをされないために，これこれを追記した，という対応をすればよいです。

どうでしょうか？