朝永君への私信。
一般に，無限小座標変換
$$\bar{x}^{\mu} = x^{\mu} + \xi^{\mu}$$
によるメトリックの変換は
\begin{eqnarray}
\bar{g}_{\alpha\beta}(\bar{x}) &=& {g}_{\mu\nu} ({x}) \frac{\partial {x}^{\mu}}{\partial \bar{x}^{\alpha}}\frac{\partial {x}^{\nu}}{\partial \bar{x}^{\beta}} \\
&=& {g}_{\mu\nu}(x)
\left( \delta^{\mu}_{\ \ \alpha} – \xi^{\mu}_{\ \ ,\alpha}\right)
\left( \delta^{\nu}_{\ \ \beta} – \xi^{\nu}_{\ \ ,\beta}\right) \\
&=& {g}_{\alpha\beta}(x) – g_{\alpha\nu} \xi^{\nu}_{\ \ ,\beta}
– g_{\mu\beta} \xi^{\mu}_{\ \ ,\alpha}
\end{eqnarray}
これに伴うゲージ変換は，左辺を
$$\bar{g}_{\alpha\beta}(\bar{x}) = \bar{g}_{\alpha\beta}(x) + g_{\alpha\beta, \lambda}\xi^{\lambda}$$
として
$$\bar{g}_{\alpha\beta}(x) = {g}_{\alpha\beta}(x) – g_{\alpha\nu} \xi^{\nu}_{\ \ ,\beta} – g_{\mu\beta} \xi^{\mu}_{\ \ ,\alpha} -g_{\alpha\beta, \lambda}\xi^{\lambda}$$
$$ \xi^0 = \alpha, \quad \xi^i = {\color{red}{\delta^{ij} \beta_{, j}}}$$
として
\begin{eqnarray}
\bar{g}_{0i} = – \bar{B}_{,i} &=& g_{0i} – g_{00} \xi^0_{\ \ ,i} – g_{ji} \xi^{j}_{\ \ , 0} – g_{0i, \lambda}\xi^{\lambda} \\
&=& – B_{, i} + \alpha_{, i} – a^2 \delta_{ji} \delta^{jk} \dot{\beta}_{, k} \\
\therefore\ \ \bar{B}_{,i} &=& B_{, i}\, -\, \alpha_{, i} + a^2\dot{\beta}_{, i} \\
\therefore\ \ \bar{B} &=& B\, -\, \alpha + a^2 \dot{\beta}
\end{eqnarray}
ほかもまとめると，
\begin{eqnarray}
\bar{A} &=& A – \dot{\alpha} \\
\bar{B} &=& B\, -\, \alpha + a^2 \dot{\beta}\\
\bar{E} &=& E – \beta \\
\bar{F} &=& F – \frac{\dot{a}}{a} \alpha \\
\bar{\delta} &=& \delta + 3\frac{\dot{a}}{a} \alpha \\
\bar{v} &=& v + a^2 \dot{\beta}
\end{eqnarray}
これより
\begin{eqnarray}
\bar{B} + a^2 \dot{\bar{E}} &=& B + a^2 \dot{E} – \alpha \\
\bar{v} – \bar{B} &=& v – B + \alpha
\end{eqnarray}
であるから
\begin{eqnarray}
\varPhi &\equiv& A – \left(B + a^2 \dot{E} \right)^{\dot{}}\\
\varPsi &\equiv& F – \frac{\dot{a}}{a} \left(B + a^2 \dot{E} \right) \\
\varDelta &\equiv& \delta – 3\frac{\dot{a}}{a}\left(v – B\right) \\
V &\equiv& v + a^2 \dot{E}
\end{eqnarray}