read_sec3.pdf の (36) 式の件

朝永君への私信。

まず, (36)式についてなのですがこの式には2H\Phiは入らないのでしょうか?

という質問への回答：

10/06 送付の私の read_sec3.pdf の (35), (36) は
$$\begin{array}{}\text{(}35\text{)}& \dot{{\Delta }_m}+\frac{1}{a^2}{\mathrm{\nabla }}^{2}V& =& 0\text{(}36\text{)}& \dot{V}+\Phi & =& 0\end{array}$$

だけど，これのこと？

これらが正しいことは，あなたが送ってくれた 9/14 の re_paper2.pdf

$$\begin{array}{r}\text{(29)}& \frac{\dot{a}}{a}{\mathrm{\Phi }}_{|i}–{\dot{\mathrm{\Psi }}}_{|i}& =-4\pi G{\overline{\rho }}_m{a}^2{V}_i\\ \text{(}29a\text{)}& \frac{\dot{a}}{a}\mathrm{\Phi }–\dot{\mathrm{\Psi }}& =-4\pi G{\overline{\rho }}_m{a}^{2}V\end{array}$$

$$\begin{array}{r}\text{(31)}& \dot{\Delta }+V_{|i}^i+3\dot{\mathrm{\Psi }}& =0\\ \text{(}31a\text{)}& \dot{\Delta }+{\mathrm{\nabla }}^{2}V+3\dot{\mathrm{\Psi }}& =0\\ \text{(32)}& {\dot{V}}_i+2\frac{\dot{a}}{a}{V}_i+\frac{{\mathrm{\Phi }}_{|i}}{a^2}& =0\\ \text{(}32a\text{)}& (a^{2}V{)}^{.}+\mathrm{\Phi }& =0\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(33)}& \mathcal{D}\equiv \Delta –3a^{2}HV\end{array}$$

が正しいとすれば示せます。

まず，あなたの変数と私の変数の関係は

$$V=a^{2}V,{\Delta }_m=\mathcal{D}$$

あなたの (33) を (31a) へ代入して

$$\begin{array}{rl}\dot{\Delta }+{\mathrm{\nabla }}^{2}V+3\dot{\mathrm{\Psi }}& ={(\mathcal{D}+3a^{2}HV)}^{.}+{\mathrm{\nabla }}^{2}V+3\dot{\mathrm{\Psi }}\\ & =\dot{\mathcal{D}}+{\mathrm{\nabla }}^{2}V\\ & +3\{\dot{H}{a}^{2}V+H(a^{2}V{)}^{\cdot }+\dot{\mathrm{\Psi }}\}\\ & =\dot{\mathcal{D}}+{\mathrm{\nabla }}^{2}V\\ & +3\{-4\pi G{\overline{\rho }}_m{a}^{2}V+H(-\mathrm{\Phi })+\dot{\mathrm{\Psi }}\}\\ \text{(}35\text{)}& & =\dot{{\Delta }_m}+{\mathrm{\nabla }}^2\frac{1}{a^2}V=0\end{array}$$

最後の中括弧の中身は (29a) からゼロ。

($36$) は (32a) そのもの。