統一的理解に向けた準備
ここでは,以下の2つの原理原則から,これらの赤方偏移が統一的に理解できることを示す。
I. 4元波数ベクトル
測地線方程式は4元波数ベクトルの下付添字成分
II. 4元速度
光源の後退速度によるドップラー効果
特殊相対論的状況においては,
であるから,測地線方程式は4元波数ベクトルすべての成分
つまり,光源から放たれたときも観測者が観測するときも同じ
これを使い,静止観測者
光源とともに運動する観測者
として,光源が運動する場合のドップラー効果の式
がすでに別ページで求められている。
特に光源が静止観測者から遠ざかる場合は
となり,振動数は小さく,したがって波長が伸びて観測される。
よってローレンツ変換を使わずに2つの原理原則から光源の後退速度によるドップラー効果を説明することができる。
重力源近傍からの光が受ける重力赤方偏移
重力源近傍の時空はシュバルツシルト解
で表されるとする.ここで
シュバルツシルト時空の計量テンソルは
とおけることがわかる。
一方,シュバルツシルト時空中の静止観測者の4元速度
と書ける。したがって,この観測者が観測する光の振動数は
となり,同じ光を観測しても,その振動数
特に,
となり,重力源に近い場所から放射された光を離れた場所で観測すると,振動数は小さく,したがって波長は伸びて観測される。このようにして,2つの原理原則から光の重力赤方偏移を説明することができる。
宇宙膨張によって引き起こされる宇宙論的赤方偏移
一様等方な膨張宇宙の計量は
ここで
また
測地線方程式の第ゼロ成分は,ヌル条件を使うと
となり,ただちに
とおけることがわかる。
一方,膨張宇宙における共動観測者の4元速度は(膨張宇宙においては空間座標が一定であることを「静止」とは言わずに「共動」と言う)
と書ける.したがって,この観測者が観測する光の振動数は
となり,共動観測者が観測する振動数は,光が放出された時刻のスケール因子
特に時刻
現在時刻
となり,宇宙初期に放射された光を現在観測すると,振動数は小さく,したがって波長は伸びて観測される。このようにして,2つの原理原則 から光の膨張宇宙における赤方偏移を説明することができる。
参考文献
G. F. R. Ellis – Relativistic Cosmology, in “General Relativity and Cosmology” ed. B. K. Sachs (Academic Press, New York, 1971) の P.146 の (6.10b) 式:
と書いてあり,その下に
“This relation is true no matter what the separation of emitter and observer, and holds independent of an interpretation of the red-shift as a