統一的理解に向けた準備
ここでは，以下の2つの原理原則から，これらの赤方偏移が統一的に理解できることを示す。
I. 4元波数ベクトル \(\boldsymbol{k}\) であらわされる電磁波はヌル測地線上を伝播する。
$$ \frac{d\boldsymbol{k}}{dv} = \boldsymbol{0}, \quad \boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{k} = 0$$
測地線方程式は4元波数ベクトルの下付添字成分 \(k_{\mu} = g_{\mu\nu} k^{\nu}\) について以下のように書くことができるので，これを利用する。
$$\frac{dk_{\mu}}{dv} = \frac{1}{2} g_{\alpha\beta, \mu} k^{\alpha} k^{\beta}, \quad g_{\alpha\beta} k^{\alpha} k^{\beta} = 0$$
II. 4元速度 \(\boldsymbol{u}\) の観測者が観測する電磁波の振動数 \(\omega\) は以下のような4次元スカラーで書ける。
$$ \omega = – \boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{u} = – k_{\mu} u^{\mu}$$
光源の後退速度によるドップラー効果
特殊相対論的状況においては，
$$g_{\alpha\beta, \mu} \Rightarrow \eta_{\alpha\beta, \mu} = 0$$
であるから，測地線方程式は4元波数ベクトルすべての成分 \(k_{\mu} \equiv \eta_{\mu\nu} k^{\nu}\) が一定であることを意味する。
$$\frac{dk_{\mu}}{dv} = 0 \ \Rightarrow \ k_{\mu} = \mbox{const.}$$
つまり，光源から放たれたときも観測者が観測するときも同じ \(k_{\mu}\) でよい。
これを使い，静止観測者 \(A\) が観測する振動数を
$$\omega_{\rm obs} \equiv – k_{\mu} u^{\mu}, $$
光源とともに運動する観測者 \(B\) が観測する振動数を
$$\omega_0 \equiv – k_{\mu} \bar{u}^{\mu} $$
として，光源が運動する場合のドップラー効果の式
$$\omega_{\rm obs} = \omega_0 \frac{\sqrt{1-V^2}}{1-V \cos\theta}$$
がすでに別ページで求められている。
特に光源が静止観測者から遠ざかる場合は \(\theta = \pi\) であり，
$$\omega_{\rm obs}= \omega_0\frac{\sqrt{1-V^2}}{1 + V} = \omega_0 \sqrt{\frac{1-V}{1+V} } < \omega_0$$
となり，振動数は小さく，したがって波長が伸びて観測される。
よってローレンツ変換を使わずに2つの原理原則から光源の後退速度によるドップラー効果を説明することができる。
重力源近傍からの光が受ける重力赤方偏移
重力源近傍の時空はシュバルツシルト解
$$ds^2 = -\left(1-\frac{r_g}{r}\right) dt^2 + \frac{dr^2}{1-\frac{r_g}{r}} + r^2 (d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)$$
で表されるとする．ここで \(r_g \equiv 2 G M\) は重力半径。
シュバルツシルト時空の計量テンソルは \(t = x^0\) によらないから\(g_{\alpha\beta, 0} = 0\)．これからただちに
$$\frac{dk_{0}}{dv} =0 \ \Rightarrow \ k_0 = \mbox{const.} \equiv – \omega_c$$
とおけることがわかる。
一方，シュバルツシルト時空中の静止観測者の4元速度 \(u^{\mu}\) は（「静止」だから空間座標が一定であることと規格化条件 \(u_{\mu} u^{\mu} = -1\) から）
$$u^{\mu} = \left(u^0, 0, 0, 0\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{r_g}{r}}}, 0, 0, 0 \right)$$
と書ける。したがって，この観測者が観測する光の振動数は
$$\omega = – k_{\mu} u^{\mu} = – k_0 u^0 = \frac{\omega_c}{\sqrt{1-\frac{r_g}{r}}}$$
となり，同じ光を観測しても，その振動数 \(\omega\) は観測者の位置を表す動径座標 \(r\) に依存することになる。
特に，\(r=r_1\) で振動数 \(\omega_1\) の光を \(r = r_2 > r_1\) で観測者が観測すると，その振動数 \(\omega_2\) は
$$\frac{\omega_2}{\omega_1} = \frac{\sqrt{1-\frac{r_g}{r_1}}}{\sqrt{1-\frac{r_g}{r_2}}} < 1, $$
$$\therefore\ \ \omega_2 < \omega_1$$
となり，重力源に近い場所から放射された光を離れた場所で観測すると，振動数は小さく，したがって波長は伸びて観測される。このようにして，2つの原理原則から光の重力赤方偏移を説明することができる。
宇宙膨張によって引き起こされる宇宙論的赤方偏移
一様等方な膨張宇宙の計量は \(a d\eta\ = dt\) で定義される共形時間 \(\eta\) を使って以下のように書くと便利である。
\begin{eqnarray}
ds^2 &=& -dt^2 + a^2(t) \gamma_{ij} dx^i dx^j \\
&=& -a^2(\eta) d\eta^2 + a^2(\eta) \Bigl(d\chi^2 + \sigma^2(\chi)\left(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2 \right) \Bigr)
\end{eqnarray}
ここで $\sigma(\chi)$ は「定曲率空間計量のいくつかの表示例」に書いたように，
$$\sigma(\chi) = \frac{\sin \left( \sqrt{k} \chi\right)}{\sqrt{k}}$$
また \(k\) は3次元定曲率空間の曲率定数である。このように書いておくと $k < 0$ の場合も $k = 0$ の場合も（$k \rightarrow 0$ の極限をとることで）使えることは「定曲率空間計量のいくつかの表示例」で示している。
測地線方程式の第ゼロ成分は，ヌル条件を使うと
$$\frac{dk_{0}}{dv} = \frac{1}{2} g_{\alpha\beta, 0} k^{\alpha} k^{\beta} = \frac{1}{a}\frac{da}{d\eta} g_{\alpha\beta} k^{\alpha} k^{\beta} =0$$
となり，ただちに
$$k_0 = \mbox{const.} \equiv – \omega_c$$
とおけることがわかる。
一方，膨張宇宙における共動観測者の4元速度は（膨張宇宙においては空間座標が一定であることを「静止」とは言わずに「共動」と言う）\(g_{00}(u^0)^2 = -1\) より
$$u^{\mu} = \left(u^0, 0, 0, 0 \right) = \left(\frac{1}{a}, 0, 0, 0 \right)$$
と書ける．したがって，この観測者が観測する光の振動数は
$$\omega = – k_{\mu} u^{\mu} = -k_0 u^0 = \frac{\omega_c}{a(\eta)}$$
となり，共動観測者が観測する振動数は，光が放出された時刻のスケール因子 \(a(\eta)\) に反比例することがわかる。
特に時刻 \(\eta = \eta_e\) に共動観測者が振動数を \(\omega_e\) と測定した光を，
現在時刻 \(\eta = \eta_0 > \eta_e\) に測定するときの振動数を \(\omega_0\) とすると，
$$\frac{\omega_0}{\omega_e} = \frac{a(\eta_e)}{a(\eta_0)} < 1$$
となり，宇宙初期に放射された光を現在観測すると，振動数は小さく，したがって波長は伸びて観測される。このようにして，2つの原理原則 から光の膨張宇宙における赤方偏移を説明することができる。
参考文献
G. F. R. Ellis – Relativistic Cosmology, in “General Relativity and Cosmology” ed. B. K. Sachs (Academic Press, New York, 1971) の P.146 の (6.10b) 式：
$$1 + z = \frac{(u^a k_a)_{\rm emitter}}{(u^a k_a)_{\rm observer}}$$
と書いてあり，その下に
“This relation is true no matter what the separation of emitter and observer, and holds independent of an interpretation of the red-shift as a $\langle\langle$ Doppler $\rangle\rangle$ or $\langle\langle$ gravitational $\rangle\rangle$ red-shift.” とある。