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ローレンツ変換によらない赤方偏移の統一的理解

統一的理解に向けた準備

ここでは,以下の2つの原理原則から,これらの赤方偏移が統一的に理解できることを示す。

I. 4元波数ベクトル k であらわされる電磁波はヌル測地線上を伝播する。

dkdv=0,kk=0

測地線方程式は4元波数ベクトルの下付添字成分 kμ=gμνkν について以下のように書くことができるので,これを利用する。
dkμdv=12gαβ,μkαkβ,gαβkαkβ=0

II. 4元速度 u の観測者が観測する電磁波の振動数 ω は以下のような4次元スカラーで書ける。

ω=ku=kμuμ

光源の後退速度によるドップラー効果

特殊相対論的状況においては,

gαβ,μηαβ,μ=0

であるから,測地線方程式は4元波数ベクトルすべての成分 kμημνkν が一定であることを意味する。

dkμdv=0  kμ=const.

つまり,光源から放たれたときも観測者が観測するときも同じ kμ でよい。

これを使い,静止観測者 A が観測する振動数を

ωobskμuμ,

光源とともに運動する観測者 B が観測する振動数を
ω0kμu¯μ
として,光源が運動する場合のドップラー効果の式
ωobs=ω01V21Vcosθ
がすでに別ページで求められている。

特に光源が静止観測者から遠ざかる場合は θ=π であり,

 

ωobs=ω01V21+V=ω01V1+V<ω0

となり,振動数は小さく,したがって波長が伸びて観測される。

よってローレンツ変換を使わずに2つの原理原則から光源の後退速度によるドップラー効果を説明することができる。

 

重力源近傍からの光が受ける重力赤方偏移

重力源近傍の時空はシュバルツシルト解
ds2=(1rgr)dt2+dr21rgr+r2(dθ2+sin2θdϕ2)
で表されるとする.ここで rg2GM は重力半径。

シュバルツシルト時空の計量テンソルは t=x0 によらないからgαβ,0=0.これからただちに
dk0dv=0  k0=const.ωc
とおけることがわかる。

一方,シュバルツシルト時空中の静止観測者の4元速度 uμ は(「静止」だから空間座標が一定であることと規格化条件 uμuμ=1 から)
uμ=(u0,0,0,0)=(11rgr,0,0,0)
と書ける。したがって,この観測者が観測する光の振動数は
ω=kμuμ=k0u0=ωc1rgr
となり,同じ光を観測しても,その振動数 ω は観測者の位置を表す動径座標 r に依存することになる。

特に,r=r1 で振動数 ω1 の光を r=r2>r1 で観測者が観測すると,その振動数 ω2
ω2ω1=1rgr11rgr2<1,
  ω2<ω1
となり,重力源に近い場所から放射された光を離れた場所で観測すると,振動数は小さく,したがって波長は伸びて観測される。このようにして,2つの原理原則から光の重力赤方偏移を説明することができる。

宇宙膨張によって引き起こされる宇宙論的赤方偏移

一様等方な膨張宇宙の計量は adη =dt  で定義される共形時間 η を使って以下のように書くと便利である。
ds2=dt2+a2(t)γijdxidxj=a2(η)dη2+a2(η)(dχ2+σ2(χ)(dθ2+sin2θdϕ2))
ここで σ(χ) は「定曲率空間計量のいくつかの表示例」に書いたように,

σ(χ)=sin(kχ)k

また k は3次元定曲率空間の曲率定数である。このように書いておくと k<0 の場合も k=0 の場合も(k0 の極限をとることで)使えることは「定曲率空間計量のいくつかの表示例」で示している。

測地線方程式の第ゼロ成分は,ヌル条件を使うと
dk0dv=12gαβ,0kαkβ=1adadηgαβkαkβ=0
となり,ただちに
k0=const.ωc
とおけることがわかる。

一方,膨張宇宙における共動観測者の4元速度は(膨張宇宙においては空間座標が一定であることを「静止」とは言わずに「共動」と言う)g00(u0)2=1 より
uμ=(u0,0,0,0)=(1a,0,0,0)
と書ける.したがって,この観測者が観測する光の振動数は
ω=kμuμ=k0u0=ωca(η)
となり,共動観測者が観測する振動数は,光が放出された時刻のスケール因子 a(η) に反比例することがわかる。

特に時刻 η=ηe に共動観測者が振動数を ωe と測定した光を,
現在時刻 η=η0>ηe に測定するときの振動数を ω0 とすると,
ω0ωe=a(ηe)a(η0)<1
となり,宇宙初期に放射された光を現在観測すると,振動数は小さく,したがって波長は伸びて観測される。このようにして,2つの原理原則 から光の膨張宇宙における赤方偏移を説明することができる。

参考文献

G. F. R. Ellis – Relativistic Cosmology, in “General Relativity and Cosmology” ed. B. K. Sachs (Academic Press, New York, 1971) の P.146 の (6.10b) 式:

1+z=(uaka)emitter(uaka)observer

と書いてあり,その下に

“This relation is true no matter what the separation of emitter and observer, and holds independent of an interpretation of the red-shift as a Doppler or gravitational red-shift.” とある。