ローレンツ変換によらない赤方偏移の統一的理解

統一的理解に向けた準備

ここでは，以下の2つの原理原則から，これらの赤方偏移が統一的に理解できることを示す。

I. 4元波数ベクトル $\mathit{k}$ であらわされる電磁波はヌル測地線上を伝播する。

$$\frac{d\mathit{k}}{dv}=\mathbf{0},\mathit{k}\cdot \mathit{k}=0$$

測地線方程式は4元波数ベクトルの下付添字成分 $k_{\mu }=g_{\mu \nu }{k}^{\nu }$ について以下のように書くことができるので，これを利用する。
$$\frac{d{k}_{\mu }}{dv}=\frac{1}{2}{g}_{\alpha \beta ,\mu }{k}^{\alpha }{k}^{\beta },g_{\alpha \beta }{k}^{\alpha }{k}^{\beta }=0$$

II. 4元速度 $\mathit{u}$ の観測者が観測する電磁波の振動数 $\omega$ は以下のような4次元スカラーで書ける。

$$\omega =–\mathit{k}\cdot \mathit{u}=–k_{\mu }{u}^{\mu }$$

光源の後退速度によるドップラー効果

特殊相対論的状況においては，

$$g_{\alpha \beta ,\mu }\Rightarrow {\eta }_{\alpha \beta ,\mu }=0$$

であるから，測地線方程式は4元波数ベクトルすべての成分 $k_{\mu }\equiv {\eta }_{\mu \nu }{k}^{\nu }$ が一定であることを意味する。

$$\frac{d{k}_{\mu }}{dv}=0\Rightarrow k_{\mu }=\text{const.}$$

つまり，光源から放たれたときも観測者が観測するときも同じ $k_{\mu }$ でよい。

これを使い，静止観測者 $A$ が観測する振動数を

$${\omega }_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}\equiv –k_{\mu }{u}^{\mu },$$

光源とともに運動する観測者 $B$ が観測する振動数を
$${\omega }_0\equiv –k_{\mu }{\overline{u}}^{\mu }$$
として，光源が運動する場合のドップラー効果の式
$${\omega }_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}={\omega }_0\frac{\sqrt{1-V^2}}{1-V\cos \theta }$$
がすでに別ページで求められている。

特に光源が静止観測者から遠ざかる場合は $\theta =\pi$ であり，

$${\omega }_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}={\omega }_0\frac{\sqrt{1-V^2}}{1+V}={\omega }_0\sqrt{\frac{1-V}{1+V}}<{\omega }_0$$

となり，振動数は小さく，したがって波長が伸びて観測される。

よってローレンツ変換を使わずに2つの原理原則から光源の後退速度によるドップラー効果を説明することができる。

重力源近傍からの光が受ける重力赤方偏移

重力源近傍の時空はシュバルツシルト解
$$d{s}^2=-(1-\frac{r_g}{r})d{t}^2+\frac{d{r}^2}{1-\frac{r_g}{r}}+r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2)$$
で表されるとする．ここで $r_g\equiv 2GM$ は重力半径。

シュバルツシルト時空の計量テンソルは $t=x^0$ によらないから$g_{\alpha \beta ,0}=0$．これからただちに
$$\frac{d{k}_0}{dv}=0\Rightarrow k_0=\text{const.}\equiv –{\omega }_c$$
とおけることがわかる。

一方，シュバルツシルト時空中の静止観測者の4元速度 $u^{\mu }$ は（「静止」だから空間座標が一定であることと規格化条件 $u_{\mu }{u}^{\mu }=-1$ から）
$$u^{\mu }=(u^0,0,0,0)=(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{r_g}{r}}},0,0,0)$$
と書ける。したがって，この観測者が観測する光の振動数は
$$\omega =–k_{\mu }{u}^{\mu }=–k_0{u}^0=\frac{{\omega }_c}{\sqrt{1-\frac{r_g}{r}}}$$
となり，同じ光を観測しても，その振動数 $\omega$ は観測者の位置を表す動径座標 $r$ に依存することになる。

特に，$r=r_1$ で振動数 ${\omega }_1$ の光を $r=r_2>r_1$ で観測者が観測すると，その振動数 ${\omega }_2$ は
$$\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}=\frac{\sqrt{1-\frac{r_g}{r_1}}}{\sqrt{1-\frac{r_g}{r_2}}}<1,$$
$$\therefore {\omega }_2<{\omega }_1$$
となり，重力源に近い場所から放射された光を離れた場所で観測すると，振動数は小さく，したがって波長は伸びて観測される。このようにして，2つの原理原則から光の重力赤方偏移を説明することができる。

宇宙膨張によって引き起こされる宇宙論的赤方偏移

一様等方な膨張宇宙の計量は $ad\eta =dt$  で定義される共形時間 $\eta$ を使って以下のように書くと便利である。
$$\begin{array}{rcl}d{s}^2& =& -d{t}^2+a^2(t){\gamma }_{ij}d{x}^{i}d{x}^j\\ & =& -a^2(\eta )d{\eta }^2+a^2(\eta )(d{\chi }^2+{\sigma }^2(\chi )(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2))\end{array}$$
ここで $\sigma (\chi )$ は「定曲率空間計量のいくつかの表示例」に書いたように，

$$\sigma (\chi )=\frac{\sin \left(\sqrt{k}\chi \right)}{\sqrt{k}}$$

また $k$ は3次元定曲率空間の曲率定数である。このように書いておくと $k<0$ の場合も $k=0$ の場合も（$k\to 0$ の極限をとることで）使えることは「定曲率空間計量のいくつかの表示例」で示している。

測地線方程式の第ゼロ成分は，ヌル条件を使うと
$$\frac{d{k}_0}{dv}=\frac{1}{2}{g}_{\alpha \beta ,0}{k}^{\alpha }{k}^{\beta }=\frac{1}{a}\frac{da}{d\eta }{g}_{\alpha \beta }{k}^{\alpha }{k}^{\beta }=0$$
となり，ただちに
$$k_0=\text{const.}\equiv –{\omega }_c$$
とおけることがわかる。

一方，膨張宇宙における共動観測者の4元速度は（膨張宇宙においては空間座標が一定であることを「静止」とは言わずに「共動」と言う）$g_{00}(u^0{)}^2=-1$ より
$$u^{\mu }=(u^0,0,0,0)=(\frac{1}{a},0,0,0)$$
と書ける．したがって，この観測者が観測する光の振動数は
$$\omega =–k_{\mu }{u}^{\mu }=-k_0{u}^0=\frac{{\omega }_c}{a(\eta )}$$
となり，共動観測者が観測する振動数は，光が放出された時刻のスケール因子 $a(\eta )$ に反比例することがわかる。

特に時刻 $\eta ={\eta }_e$ に共動観測者が振動数を ${\omega }_e$ と測定した光を，
現在時刻 $\eta ={\eta }_0>{\eta }_e$ に測定するときの振動数を ${\omega }_0$ とすると，
$$\frac{{\omega }_0}{{\omega }_e}=\frac{a({\eta }_e)}{a({\eta }_0)}<1$$
となり，宇宙初期に放射された光を現在観測すると，振動数は小さく，したがって波長は伸びて観測される。このようにして，2つの原理原則 から光の膨張宇宙における赤方偏移を説明することができる。

参考文献

G. F. R. Ellis – Relativistic Cosmology, in “General Relativity and Cosmology” ed. B. K. Sachs (Academic Press, New York, 1971) の P.146 の (6.10b) 式：

$$1+z=\frac{(u^a{k}_a{)}_{\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}}}{(u^a{k}_a{)}_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$$

と書いてあり，その下に

“This relation is true no matter what the separation of emitter and observer, and holds independent of an interpretation of the red-shift as a $⟨⟨$ Doppler $⟩⟩$ or $⟨⟨$ gravitational $⟩⟩$ red-shift.” とある。