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■ ローレンツ変換によらない特殊相対論の統一的理解

 

ローレンツ変換を使わずに特殊相対論的効果を理解することはできるのか?

という問いに答えることは,きわめて有意義であると考える。そして私は,この問いに対して

できる!

と答えたい。

■ 一般相対論的時空の表し方

重力の理論である一般相対性理論では,重力は個々の物体に働く「力」というよりも,入れ物としての時空そのものの曲がり具合として記述される。時空の曲がり具合を記述するのが微分幾何学であり,そこには曲率テンソルをはじめとした多くの数学的道具立てが現れる。

ここでは,曲率テンソルの物理的イメージを感じていただけるように,力学の運動方程式に相当する測地線方程式の話からはじめて,「平行移動と共変微分は使わずに」,それでいて式の説明は割愛せず,曲率テンソルの導入まで説明してみる。

■ 重力場中の光の伝播

光の経路はヌル測地線で与えられる。このことを説明し,応用として,球対称真空なシュバルツシルト時空中の光の伝播について説明する。

また,測地線とは「まっすぐな線」として定義される。測地線で記述される光の経路は「まっすぐ」である。曲がるはずはない。

果たして,まっすぐな線は曲がるのか?

この問題についても理解を深めたい。

■ 重力場中のテスト粒子の運動

重力以外の力を受けずに運動するテスト粒子の軌道は測地線方程式で与えられる。

ここでは,応用として球対称真空なシュバルツシルト時空中のテスト粒子の運動について解説し,特に「近(日)点移動」について詳細な導出を行う。

 

■ 重力場中の時間の進み方

特殊相対論における「運動している時計の遅れ」のおさらいからはじめて,「東京スカイツリーの展望台では時間が早くすすむこと」や,地球をまわる人工衛星や宇宙ステーションに搭載された時計の進み方についてまとめます。

■ ニュートン宇宙論

ニュートン力学の運動方程式万有引力の法則から,(一般相対論を使わずに)宇宙の膨張を記述するフリードマン方程式を導く。

■ 一般相対論的宇宙論

アインシュタイン方程式をうずなしのダスト流体の場合について解き,膨張宇宙の解であるフリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー(FLRW)計量を導出する。また,宇宙膨張をあらわすスケール因子を決めるフリードマン方程式や,膨張宇宙における光の伝播などについて解説する。