変数変換と偏微分の規則：波動方程式に関連して

by Posted in 電磁気学

一次元波動方程式に関連して，偏微分の規則について質問があったので補足。

(1)   \begin{equation*} \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right) f(x,t) = 0 \end{equation*}

上の一次元波動方程式を解く際，以下のような変数変換(x,t) \rightarrow (u(x,t), v(x,t))を行う。

(2)   \begin{eqnarray*} u &=& x- c t \\ v &=& x + c t \end{eqnarray*}

もともと x, t の関数である f(x,t)は変数変換すると，u, vの関数 f[u(x,t), v(x,t)]になるので，合成関数の偏微分の規則にしたがって，

(3)   \begin{equation*} \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x} \end{equation*}

変数変換の式から，

(4)   \begin{equation*} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial }{\partial x}(x- c t) = 1 \end{equation*}

(5)   \begin{equation*} \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial }{\partial x}(x+ c t) = 1 \end{equation*}

なので，

(6)   \begin{equation*} \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \ + \frac{\partial f}{\partial v} \end{equation*}

これが任意の f について成り立つのだから，

(7)   \begin{equation*} \frac{\partial }{\partial x} = \frac{\partial }{\partial u} \ + \frac{\partial }{\partial v} \end{equation*}

\partial /\partial t についても同様。

また，この変数変換の逆変換とは，x,t を u, v で表すことであり，以下のようになる。

(8)   \begin{eqnarray*} x(u,v) &=& \frac{1}{2} (u+v) \\ t(u,v) &=& \frac{1}{2c} (v-u) \end{eqnarray*}

もともと x, t の関数であった関数は f(x,t) \Rightarrow f(x(u,v), t(u,v)) とu, v の関数とみなされるので，合成関数の偏微分の規則により，

(9)   \begin{equation*} \frac{\partial}{\partial u} f(x(u,v),t(u,v)) = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial f}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial u}= \frac{1}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial x} - \frac{1}{c}\frac{\partial f}{\partial t} \right) \end{equation*}

(10)   \begin{equation*} \frac{\partial}{\partial v} f(x(u,v),t(u,v)) = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial f}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial v}= \frac{1}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{c}\frac{\partial f}{\partial t} \right) \end{equation*}

したがって，

(11)   \begin{equation*} 2\frac{\partial}{\partial u} = \frac{\partial }{\partial x} - \frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t} \end{equation*}

(12)   \begin{equation*} 2\frac{\partial}{\partial v} = \frac{\partial }{\partial x} + \frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t} \end{equation*}