\u53c2\u8003\u30b5\u30a4\u30c8<\/p>\n
\u4e0a\u8a18\u306e\u30da\u30fc\u30b8\u3092\u53c2\u8003\u306b\uff0c\u5730\u9762\u304b\u3089\u9ad8\u3055 \\(h\\) \u306e\u5730\u70b9\u304b\u3089\u7a7a\u6c17\u62b5\u6297\u306a\u3057\u306e\u659c\u65b9\u6295\u5c04\u3092\u884c\u3046\u3068\uff0c\u6c34\u5e73\u65b9\u5411\u306e\u5230\u9054\u8ddd\u96e2\u304c\u6700\u5927\u3068\u306a\u308b\u306e\u306f\u6253\u3061\u4e0a\u3052\u89d2\u5ea6\uff08\u4ef0\u89d2\uff09\u304c \\(45^{\\circ}\\) \u306e\u3068\u304d\u3067\u306f\u306a\u304f\uff0c\u305d\u308c\u3088\u308a\u5c11\u3057\u5c0f\u3055\u3081\u306b\u306a\u308b\u3053\u3068\u3092\u304a\u3055\u3089\u3044\u3057\u3066\u304a\u304f\u3002\u5b66\u751f\u306e\u30b3\u30f3\u30d4\u30e5\u30fc\u30bf\u6f14\u7fd2\u7528\u306b\u3068\u601d\u3063\u305f\u304c\uff0c\u3051\u3063\u3053\u3046\u624b\u9593\u53d6\u3063\u305f\u306e\u3067\u30e1\u30e2\u3002<\/p>\n
\u306a\u304a\uff0c\u7a7a\u6c17\u62b5\u6297\u304c\u3042\u308b\u5834\u5408\u306e\u659c\u65b9\u6295\u5c04\u306b\u3064\u3044\u3066\u306f\uff0c\u4ee5\u4e0b\u3092\u53c2\u7167\u3002<\/p>\n
<\/p>\n
\u6c34\u5e73\u65b9\u5411\u3092 \\(x\\)\uff0c\u925b\u76f4\u4e0a\u5411\u304d\u3092 \\(y\\) \u3068\u3059\u308b\u3068\uff0c\u904b\u52d5\u65b9\u7a0b\u5f0f\u306f\u91cd\u529b\u52a0\u901f\u5ea6\u306e\u5927\u304d\u3055\u3092 \\(g\\) \u3068\u3057\u3066<\/p>\n
\\begin{eqnarray}
\n\\frac{d^2 x}{dt^2} &=& 0 \\\\
\n\\frac{d^2 y}{dt^2} &=& -g
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n
\u521d\u671f\u6761\u4ef6\u3092 \\(t = 0\\) \u3067<\/p>\n
$$x(0) = 0, \\quad y(0) = h, \\quad v_x(0)\u00a0 = v_0 \\cos\\theta, \\quad v_y(0) = v_0 \\sin \\theta$$<\/p>\n
\u3068\u3057\u305f\u3068\u304d\u306e\u89e3\u306f<\/p>\n
\\begin{eqnarray}
\nx(t) &=& v_0 \\cos\\theta\\cdot t \\\\
\ny(t) &=& h + v_0 \\sin\\theta\\cdot t -\\frac{1}{2} g t^2 \\\\
\nv_x(t) &=& v_0 \\cos\\theta \\\\
\nv_y(t) &=& v_0 \\sin\\theta -g t
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n
\u3053\u306e\u7cfb\u306b\u7279\u5fb4\u7684\u306a\u6642\u9593 \\(\\displaystyle \\tau \\equiv \\frac{v_0}{g}\\) \u304a\u3088\u3073\u9577\u3055 \\(\\displaystyle \\ell \\equiv v_0 \\tau = \\frac{v_0^2}{g}\\) \u3067\u89e3\u3092\u7121\u6b21\u5143\u5316\u3057\u3066\u304a\u304f\u3002<\/p>\n
\\begin{eqnarray}
\n\\bar{t} &\\equiv& \\frac{t}{\\tau} \\\\
\n\\bar{h} &\\equiv& \\frac{h}{\\ell} \\\\
\n\\bar{x} &\\equiv& \\frac{x}{\\ell} = \\cos\\theta\\cdot \\bar{t} \\\\
\n\\bar{y}&\\equiv& \\frac{y}{\\ell} = \\bar{h} + \\sin\\theta\\cdot \\bar{t} -\\frac{1}{2} \\bar{t}^2 \\\\
\n\\bar{v}_x &\\equiv& \\frac{d\\bar{x}}{d\\bar{t}} = \\cos\\theta \\\\
\n\\bar{v}_y &\\equiv& \\frac{d\\bar{y}}{d\\bar{t}} = \\sin\\theta -\\bar{t}
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n
\u4ee5\u5f8c\u3057\u3070\u3089\u304f\u306f\uff0c\u7121\u6b21\u5143\u5316\u3055\u308c\u305f\u91cf\u3067\u3042\u308b\u3053\u3068\u3092\u5fd8\u308c\u306a\u3044\u3053\u3068\u306b\u3057\u3066\uff0c\u7c21\u5358\u306e\u305f\u3081\u306b \\(\\bar{\\ }\\) \u3092\u7701\u7565\u3059\u308b\u3002<\/p>\n
\\begin{eqnarray}
\n{x} &=& \\cos\\theta\\cdot {t} \\tag{1}\\\\
\n{y} &=&\u00a0 {h} + \\sin\\theta\\cdot {t} -\\frac{1}{2} {t}^2 \\tag{2}\\\\
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n
\u5730\u9762\u3088\u308a\u9ad8\u3055 \\(h\\) \u306e\u5834\u6240\u304b\u3089\u6295\u5c04\u3057\u3066\u5730\u9762 \\(y=0\\) \u306b\u843d\u3061\u308b\u307e\u3067\u306e\u6ede\u7a7a\u6642\u9593 \\(T \\ (>0)\\) \u306f \\((2)\\) \u5f0f\u304b\u3089<\/p>\n
\\begin{eqnarray}
\n0 &=& h + \\sin\\theta\\cdot T -\\frac{1}{2} T^2
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n
\u3088\u308a\uff082\u6b21\u65b9\u7a0b\u5f0f\u306e\u89e3\u306e\u516c\u5f0f\u306e\u6b63\u306e\u89e3\u306e\u307f\u3092\u53d6\u308a\u51fa\u305b\u3070\u3088\u3044\u306e\u3067\uff09<\/p>\n
$$ T = \\sin\\theta + \\sqrt{\\sin^2\\theta + 2 h}$$<\/p>\n
\u3053\u306e\u6642\u9593\u3067\u306e\u6c34\u5e73\u65b9\u5411\u306e\u5230\u9054\u8ddd\u96e2 \\(L\\) \u306f \\((1)\\) \u5f0f\u304b\u3089<\/p>\n
\\begin{eqnarray}
\nL &=& \\cos\\theta\\cdot T \\\\
\n&=& \\sin\\theta \\cos\\theta + \\sqrt{\\sin^2\\theta \\cos^2\\theta + 2 h \\cos^2\\theta}
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n
\uff08\\(t\\equiv \\tan \\theta\\) \u3060\u3068\u6642\u9593\u306e \\(t\\) \u3068\u30ab\u30d6\u308b\u306e\u3067\uff09\\(u \\equiv \\tan \\theta\\) \u3068\u3057\u3066 \\(L\\) \u3092 \\(u\\) \u3067\u66f8\u304d\u76f4\u3059\u3002<\/p>\n
\\begin{eqnarray}
\n\\cos^2\\theta &=& \\frac{1}{1 + u^2} \\\\
\n\\sin\\theta \\cos\\theta &=& \\tan\\theta \\cos^2\\theta = \\frac{u}{1+u^2} \\\\
\n\\therefore\\ \\ L(u) &=& \\frac{u}{1+u^2} + \\sqrt{\\left(\\frac{u}{1+u^2} \\right)^2 + \\frac{2 h}{1+u^2}} \\\\
\n&=& \\frac{1}{1+u^2} \\left\\{u + \\sqrt{(1+2h) u^2 + 2h} \\right\\}
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n
\\(L\\) \u304c\u6700\u5927\u5024\u3068\u306a\u308b \\(u\\) \u3092\u6c42\u3081\u308b\u305f\u3081\u306b\u5fae\u5206\u3057\u3066\u6574\u7406\u3059\u308b\u3068…<\/p>\n
$$\\frac{dL}{du} = \\frac{\\left( \\sqrt{(1+2h) u^2 + 2h}+u\\right) \\left(1 -u \\sqrt{(1+2h) u^2 + 2h} \\right)}{(1+u^2)^2 \\sqrt{(1+2h) u^2 + 2h}}$$<\/p>\n
\\(u > 0\\) \u306a\u306e\u3067 \\(\\displaystyle \\frac{dL}{du} = 0\\) \u3068\u306a\u308b\u306e\u306f \\(u\\) \u304c<\/p>\n
$$u_{\\rm m} \\sqrt{(1+2h) u_{\\rm m}^2 + 2h} = 1 \\tag{3}$$\u3092\u6e80\u305f\u3059 \\(u_{\\rm m}\\) \u306e\u3068\u304d\u3002<\/p>\n
\\begin{eqnarray}
\nu < u_{\\rm m} \\ \\ \\Rightarrow\\ \\ u \\sqrt{(1+2h) u^2 + 2h} < 1 \\ \\ \\Rightarrow\\ \\ \\frac{dL}{du} > 0 \\\\
\nu > u_{\\rm m} \\ \\ \\Rightarrow\\ \\ u \\sqrt{(1+2h) u^2 + 2h} > 1 \\ \\ \\Rightarrow\\ \\ \\frac{dL}{du} < 0
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n
\u306a\u306e\u3067\uff0c\\(u = u_{\\rm m}\\) \u306e\u3068\u304d\\(L\\) \u306f\u6975\u5927\u5024\uff08\u6700\u5927\u5024\uff09\u3068\u306a\u308b\u3053\u3068\u304c\u308f\u304b\u308b\u3002<\/p>\n
\\(u_{\\rm m}\\) \u3092\u6c42\u3081\u308b\u305f\u3081\u306b \\((3)\\) \u5f0f\u30922\u4e57\u3057\u3066\u56e0\u6570\u5206\u89e3\uff1a<\/p>\n
\\begin{eqnarray}
\nu_{\\rm m}^2 \\left\\{(1+2h) u_{\\rm m}^2 + 2h\\right\\} -1 &=& 0\u00a0 \\\\
\n\\left(u_{\\rm m}^2 + 1\\right) \\left( \\left(1+2h\\right) u_{\\rm m}^2 -1\\right) &=& 0
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n
$$\\therefore\\ \\ u_{\\rm m} = \\frac{1}{\\sqrt{1 + 2 h}}$$<\/p>\n
\u3053\u3053\u3067\uff0c\u3042\u3089\u305f\u3081\u3066\u5168\u3066\u306e\u91cf\u306f\u7121\u6b21\u5143\u5316\u3055\u308c\u3066\u3044\u305f\u306e\u3060\u3068\u3044\u3046\u3053\u3068\u3092\u601d\u3044\u51fa\u3057\u3066\uff0c\\(\\bar{\\ }\\) \u3092\u7701\u7565\u305b\u305a\u306b\u3064\u3051\u308b\u3068<\/p>\n
\\begin{eqnarray}
\nu_{\\rm m} = \\tan \\theta_{\\rm m} &=& \\frac{1}{\\sqrt{1 + 2 \\bar{h}}} \\\\
\n&=& \\frac{1}{\\sqrt{1 + \\frac{2h}{\\frac{v_0^2}{g}}}} \\\\
\n&=& \\sqrt{\\frac{v_0^2}{v_0^2 + 2 g h}}
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n
$$h > 0 \\ \\ \\Rightarrow\\ \\ \\tan \\theta_{\\rm m} < 1 \\ \\ \\Rightarrow\\ \\ \u00a0 0 < \\theta_{\\rm m} < \\frac{\\pi}{4}$$\u306a\u306e\u3067\uff0c\u9ad8\u3055 \\(h\\) \u304b\u3089\u306e\u659c\u65b9\u6295\u5c04\u306e\u5834\u5408\u306f\uff0c\u6c34\u5e73\u65b9\u5411\u306e\u5230\u9054\u8ddd\u96e2\u304c\u6700\u5927\u3068\u306a\u308b\u306e\u306f\u6253\u3061\u4e0a\u3052\u89d2\u5ea6\u304c \\(45^{\\circ}\\) \u3088\u308a\u5c11\u3057\u5c0f\u3055\u3044\u5024\u306b\u306a\u308b\u3053\u3068\u304c\u308f\u304b\u308b\u3002<\/p>\n
\\(u = u_{\\rm m}\\) \u306e\u3068\u304d\u306e\uff08\u7121\u6b21\u5143\u5316\u3055\u308c\u305f\uff09\u6700\u5927\u5230\u9054\u8ddd\u96e2 \\(L_{\\rm m}\\) \u306f<\/p>\n
\\begin{eqnarray}
\nL_{\\rm m} &=& L(u_{\\rm m})
\n= \\frac{1}{1 + u_{\\rm m}^2}
\n\\left\\{ u_{\\rm m} + \\frac{1}{u_{\\rm m}} \\right\\} \\\\
\n&=& \\frac{1}{ u_{\\rm m}} \\\\
\n&=& \\sqrt{1 + 2 \\bar{h}}
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n
\u6b21\u5143\u3092\u3082\u3063\u305f\u91cf\u3067\u3042\u3089\u308f\u3059\u3068<\/p>\n
$$x_{\\rm max} = L_{\\rm m} \\times \\frac{v_0^2}{g} = \\frac{v_0^2}{g} \\sqrt{1 + \\frac{2gh}{v_0^2}}$$<\/p>\n
\u307e\u305f\uff0c\u3053\u306e\u3068\u304d\u306e\uff08\u7121\u6b21\u5143\u5316\u3055\u308c\u305f\uff09\u6ede\u7a7a\u6642\u9593 \\(T_{\\rm m}\\) \u306f<\/p>\n
$$T_{\\rm m} = T(u_{\\rm m}) = \\sin\\theta_{\\rm m} + \\sqrt{\\sin^2\\theta_{\\rm m} + 2 \\bar{h}}$$<\/p>\n
\u6b21\u5143\u3092\u3082\u3063\u305f\u91cf\u3067\u3042\u3089\u308f\u3059\u3068<\/p>\n
$$t_{\\rm max} = \\frac{v_0}{g} T_{\\rm m}$$<\/p>\n
\u3055\u3066\uff0c\u6295\u5c04\u306e\u521d\u901f\u5ea6\u306e\u89d2\u5ea6 \\(\\theta_{\\rm i}\\) \u3092\uff0c\u6700\u5927\u5230\u9054\u8ddd\u96e2\u3068\u306a\u308b\u89d2\u5ea6 \\(\\theta_{\\rm i} = \\theta_{\\rm m}\\) \u306b\u3057\u3066\u9ad8\u3055 \\(h\\) \u306e\u5730\u70b9\u304b\u3089\u6295\u5c04\u3055\u308c\u305f\u7269\u4f53\u306f\uff0c\u6ede\u7a7a\u6642\u9593 \\(T_{\\rm m}\\) \u306e\u5f8c\u306b\u5730\u9762\u306b\u5230\u9054\u3059\u308b\u3002\u3053\u306e\u6642\u306e\u89d2\u5ea6\uff08\u4fef\u89d2\uff09 \\(\\theta_{\\rm f}\\) \u306f<\/p>\n
\\begin{eqnarray}
\n\\tan \\theta_{\\rm f} &\\equiv& \\frac{|\\bar{v}_y(T_{\\rm m})|}{\\bar{v}_x} \\\\
\n&=& \\frac{\\left|\\sin\\theta_{\\rm m} -\\left( \\sin\\theta_{\\rm m} + \\sqrt{\\sin^2\\theta_{\\rm m} + 2 \\bar{h}}\\right)\\right|}{\\cos\\theta_{\\rm m}} \\\\
\n&=& \\sqrt{\\tan^2 \\theta_{\\rm m} + \\frac{2\\bar{h}}{\\cos^2\\theta_{\\rm m}}} \\\\
\n&=& \\sqrt{(1 + 2 h) u_{\\rm m}^2 + 2 \\bar{h}} \\\\
\n&=& \\frac{1}{u_{\\rm m}} \\\\
\n&=& \\frac{1}{\\tan\\theta_{\\rm m}}
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n
\u3068\u3044\u3046\u3053\u3068\u306f\uff0c<\/p>\n
\\begin{eqnarray}
\n\\tan\\left(\\theta_{\\rm i} + \\theta_{\\rm f}\\right) &=&
\n\\frac{\\tan \\theta_{\\rm i} + \\tan \\theta_{\\rm f}}{1 -\\tan \\theta_{\\rm i}\\tan \\theta_{\\rm f}} \\\\
\n&=& \\frac{\\tan \\theta_{\\rm m} + \\frac{1}{\\tan \\theta_{\\rm m}}}{1 -\\tan \\theta_{\\rm m} \\frac{1}{\\tan \\theta_{\\rm m}}} \\\\
\n&=& \\frac{\\tan \\theta_{\\rm m} + \\frac{1}{\\tan \\theta_{\\rm m}}}{1 -1} \\rightarrow \\infty
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n
\u3068\u306a\u308a\uff0c\\(\\tan \\frac{\\pi}{2} \\rightarrow \\infty\\) \u3067\u3042\u308b\u304b\u3089<\/p>\n
$$\\theta_{\\rm i} + \\theta_{\\rm f} = \\frac{\\pi}{2}$$\u3068\u306a\u308b\u3053\u3068\u304c\u308f\u304b\u308b\u3002<\/p>\n
\\(\\infty\\) \u306b\u306a\u308b\u306e\u304c\u3044\u3084\u306a\u3089\uff0c\u4ee5\u4e0b\u306e\u3088\u3046\u306a\u65b9\u6cd5\u3082\u3042\u308b\u3002\u307e\u305a\uff0c\u4e00\u5e74\u751f\u306e\u6388\u696d\u306e\u300c\u53c2\u8003\uff1a\u9006\u4e09\u89d2\u95a2\u6570\u306e\u9593\u306e\u95a2\u4fc2<\/a>\u300d\u306e\u3068\u3053\u308d\u3067\uff0c\u4efb\u610f\u306e \\(x\\) \u306b\u5bfe\u3057\u3066\u6b21\u306e\u95a2\u4fc2\u304c\u6210\u308a\u7acb\u3064\u3053\u3068\u3092\u793a\u3057\u305f\u3002<\/p>\n $$\\tan^{-1} x + \\tan^{-1} \\frac{1}{x} = \\frac{\\pi}{2}$$<\/p>\n \u3053\u308c\u3092\u4f7f\u3046\u3068\uff0c<\/p>\n $$\\tan\\theta_{\\rm i} = \\tan\\theta_{\\rm m} = u_{\\rm m}, \\quad \u3067\u3042\u3063\u305f\u304b\u3089\uff0c<\/p>\n $$\\theta_{\\rm i} + \\theta_{\\rm f} = \\tan^{-1} u_{\\rm m} + \\tan^{-1} \\frac{1}{u_{\\rm m}} = \\frac{\\pi}{2}$$<\/p>\n \u4ee5\u4e0a\u3002<\/p>\n \u4ee5\u4e0b\u306e\u30da\u30fc\u30b8\u3082\u53c2\u7167\u3002\u5927\u5b66\u306e\u504f\u5fae\u5206\u306e\u3068\u3053\u308d\u3067\u9670\u95a2\u6570\u5b9a\u7406\u3084\u30e9\u30b0\u30e9\u30f3\u30b8\u30e5\u306e\u672a\u5b9a\u4e57\u6570\u6cd5\u3092\u7fd2\u3063\u305f\u4eba\u3080\u3051\u3002<\/p>\n \u53c2\u8003\u30b5\u30a4\u30c8<\/p>\n \u4e0a\u8a18\u306e\u30da\u30fc\u30b8\u3092\u53c2\u8003\u306b\uff0c\u5730\u9762\u304b\u3089\u9ad8\u3055 \\(h\\) \u306e\u5730\u70b9\u304b\u3089\u7a7a\u6c17\u62b5\u6297\u306a\u3057\u306e\u659c\u65b9\u6295\u5c04\u3092\u884c\u3046\u3068\uff0c\u6c34\u5e73\u65b9\u5411\u306e\u5230\u9054\u8ddd\u96e2\u304c\u6700\u5927\u3068\u306a\u308b\u306e\u306f\u6253\u3061\u4e0a\u3052\u89d2\u5ea6\uff08\u4ef0\u89d2\uff09\u304c \\(45^{\\circ}\\) \u306e\u3068\u304d\u3067\u306f\u306a\u304f\uff0c\u305d\u308c\u3088\u308a\u5c11\u3057\u5c0f\u3055\u3081\u306b\u306a\u308b\u3053\u3068\u3092\u304a\u3055\u3089\u3044\u3057\u3066\u304a\u304f\u3002\u5b66\u751f\u306e\u30b3\u30f3\u30d4\u30e5\u30fc\u30bf\u6f14\u7fd2\u7528\u306b\u3068\u601d\u3063\u305f\u304c\uff0c\u3051\u3063\u3053\u3046\u624b\u9593\u53d6\u3063\u305f\u306e\u3067\u30e1\u30e2\u3002<\/p>\n \u306a\u304a\uff0c\u7a7a\u6c17\u62b5\u6297\u304c\u3042\u308b\u5834\u5408\u306e\u659c\u65b9\u6295\u5c04\u306b\u3064\u3044\u3066\u306f\uff0c\u4ee5\u4e0b\u3092\u53c2\u7167\u3002<\/p>
\n\\tan\\theta_{\\rm f} = \\frac{1}{\\tan\\theta_{\\rm m}} = \\frac{1}{u_{\\rm m}}$$<\/p>\n\u8ffd\u8a18\uff1a<\/h3>\n
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