<\/p>\n
$ -\\pi \\le x \\le \\pi$ \u3067\u5b9a\u7fa9\u3055\u308c\u305f\u95a2\u6570 $f(x) = x^2$ \u304c\uff0c\u533a\u9593\u5916\u3067\u5468\u671f $2 \\pi$ \u306e\u5468\u671f\u95a2\u6570\u3067\u3042\u308b\u3068\u304d\uff0c\u8907\u7d20\u30d5\u30fc\u30ea\u30a8\u4fc2\u6570 $c_n$ \u3092\u6c42\u3081\u3088\u3002<\/p>\n
\u8907\u7d20\u30d5\u30fc\u30ea\u30a8\u7d1a\u6570\u306e\u516c\u5f0f\u3067 $L = \\pi, \\ f(x) = x^2$ \u3068\u3057\u3066\uff0c<\/p>\n
\\begin{eqnarray}
\nf(x) = x^2 &=& \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty} c_n \\, e^{i n x} \\\\
\nc_n &=& \\frac{1}{2 \\pi} \\int_{-\\pi}^{\\pi} x^2 \\, e^{-i n x} \\, dx
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n
\u307e\u305a\uff0c$n=0$ \u306e\u3068\u304d\u306f<\/p>\n
$$c_0 = \\frac{1}{2\\pi} \\int_{-\\pi}^{\\pi} x^2\\, dx = \\frac{1}{2\\pi}\\,\\biggl[ \\frac{x^3}{3}\\biggr]_{-\\pi}^{\\pi} = \\frac{\\pi^2}{3}$$<\/p>\n
$n \\neq 0$ \u306e\u5834\u5408\u306f\u90e8\u5206\u7a4d\u5206\u30922\u56de\u307b\u3069\u3084\u3063\u3066…<\/p>\n
\\begin{eqnarray}
\nc_n &=& \\frac{1}{2 \\pi} \\int_{- \\pi}^{\\pi} x^2 \\, e^{- i n x} \\, dx \\\\
\n&=& \\frac{1}{2 \\pi} \\left\\{ \\biggl[ x^2 \\, \\frac{e^{-i n x}}{-i n}\\biggr]_{-\\pi}^{\\pi} -\\int_{-\\pi}^{\\pi} 2 x\u00a0 \\frac{e^{-i n x}}{-i n} \\, dx\\right\\} \\\\
\n&=& \\frac{1}{2 \\pi} \\left\\{ \\biggl[ x^2 \\, \\frac{e^{-i n x}}{-i n}\\biggr]_{-\\pi}^{\\pi}
\n-\\biggl[2 x\u00a0 \\frac{e^{-i n x}}{(-i n)^2} \\biggr]_{-\\pi}^{\\pi} +\\int_{-\\pi}^{\\pi} 2\u00a0\u00a0 \\frac{e^{-i n x}}{(-i n)^2} \\, dx\\right\\}\\\\
\n&=& \\frac{1}{2 \\pi} \\left\\{ \\biggl[ x^2 \\, \\frac{e^{-i n x}}{-i n}\\biggr]_{-\\pi}^{\\pi}
\n-\\biggl[2 x\u00a0 \\frac{e^{-i n x}}{(-i n)^2} \\biggr]_{-\\pi}^{\\pi}
\n+\\biggl[2\u00a0 \\frac{e^{-i n x}}{(-i n)^3} \\biggr]_{-\\pi}^{\\pi} \\right\\}\\\\
\n&=&\\frac{1}{2\\pi} \\biggl[\\left(\\frac{x^2}{-i n} – \\frac{2x}{(-i n)^2} + \\frac{2}{(-i n)^3} \\right)\u00a0 e^{-i n x}\\biggr]_{-\\pi}^{\\pi} \\\\
\n&=& \\frac{2\\cdot (-1)^n}{n^2}
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n
\u3053\u3053\u3067\uff0c<\/p>\n
\\begin{eqnarray}
\ne^{-i n \\pi} &=& \\cos (n \\pi) -i \\sin (n \\pi) \\\\
\n&=& (-1)^n \\\\
\ne^{i n \\pi} &=&(-1)^n
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n
\u3068\u306a\u308b\u3053\u3068\u3092\u4f7f\u3063\u305f\u3002<\/p>\n
\u8907\u7d20\u30d5\u30fc\u30ea\u30a8\u4fc2\u6570 $c_n$ \u306f\u4ee5\u4e0a\u306e\u3088\u3046\u306b\u3057\u3066\u6c42\u307e\u3063\u305f\u306e\u3067\uff0c\u3042\u3089\u305f\u3081\u3066\u8907\u7d20\u30d5\u30fc\u30ea\u30a8\u7d1a\u6570\u3092\u66f8\u3044\u3066\u307f\u308b\u3068\uff0c<\/p>\n
\\begin{eqnarray}
\nf(x) = x^2 &=& \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty} c_n \\, e^{i n x} \\\\
\n&=& c_0 + \\sum_{n=1}^{\\infty} \\left\\{\\frac{2\\cdot (-1)^n}{n^2} \\, e^{i n x} + \\frac{2\\cdot (-1)^{(-n)}}{(-n)^2} \\, e^{-i n x} \\right\\}\\\\
\n&=& c_0\u00a0 + c_{+1}\\, e^{+ i x} \\ \\\u00a0 + c_{+2}\\,e^{+2 i x} \\ \\ + c_{+3}\\, e^{+3 i x} + \\cdots \\\\
\n&&\\ \\ \\ \\, + c_{ -1}\\, e^{ -i x} \\ \\ + c_{-2}\\,e^{-2 i x} \\ \\ + c_{-3}\\, e^{-3 i x} + \\cdots \\\\
\n&=& \\frac{\\pi^2}{3} -2 \\left(e^{+ i x} +e^{- i x} \\right) + \\frac{1}{2} \\left(e^{+2 i x} +e^{- 2 i x} \\right) – \\frac{2}{9} \\left(e^{+3 i x} +e^{- 3 i x} \\right) + \\cdots \\\\
\n&=& \\frac{\\pi^2}{3} -4 \\cos x + \\cos 2 x -\\frac{4}{9} \\cos 3 x + \\cdots
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n
$ -1 \\le x \\le 1$ \u3067\u5b9a\u7fa9\u3055\u308c\u305f\u95a2\u6570 $f(x) = x$ \u304c\uff0c\u533a\u9593\u5916\u3067\u5468\u671f $2$ \u306e\u5468\u671f\u95a2\u6570\u3067\u3042\u308b\u3068\u304d\uff0c\u8907\u7d20\u30d5\u30fc\u30ea\u30a8\u4fc2\u6570 $c_n$ \u3092\u6c42\u3081\u3088\u3002<\/p>\n