\u4e00\u822c\u76f8\u5bfe\u8ad6\u7684\u306a\u91cd\u529b\u5834\u3067\u3042\u308b\u30b7\u30e5\u30d0\u30eb\u30c4\u30b7\u30eb\u30c8\u6642\u7a7a\u4e2d\u306e\u5929\u4f53\u306e\u904b\u52d5\u306b\u3064\u3044\u3066\u8abf\u3079\uff0c\u30cb\u30e5\u30fc\u30c8\u30f3\u7406\u8ad6\u306b\u304a\u3051\u308b\u30b1\u30d7\u30e9\u30fc\u306e\u6cd5\u5247\u304c\u3069\u306e\u3088\u3046\u306a\u4fee\u6b63\u3092\u53d7\u3051\u308b\u304b\u3092\u793a\u3059\u3002<\/p>\n
\u30cb\u30e5\u30fc\u30c8\u30f3\u7406\u8ad6\u306b\u304a\u3051\u308b\u30b1\u30d7\u30e9\u30fc\u306e\u6cd5\u5247\u306b\u3064\u3044\u3066\u306f\uff0c\u4ee5\u4e0b\u306e\u30da\u30fc\u30b8\u306b\u307e\u3068\u3081\u3066\u3044\u308b\u3002<\/p>\n
\u60d1\u661f\u306e\u904b\u52d5\u306f\u592a\u967d\u3092\u901a\u308b\u5e73\u9762\u4e0a\u306b\u9650\u3089\u308c\u308b\u3002\u3053\u306e\u3053\u3068\u3092\u30b1\u30d7\u30e9\u30fc\u306f\u660e\u8a00\u3057\u3066\u3044\u306a\u3044\u304c\uff0c\u3053\u306e\uff0c\u3044\u308f\u3070\u7b2c\u30bc\u30ed\u6cd5\u5247\u3068\u3044\u3046\u3082\u306e\u304c\u7b2c1\u6cd5\u5247\u4ee5\u964d\u3092\u8ff0\u3079\u308b\u969b\u306b\u3042\u3089\u304b\u3058\u3081\u4eee\u5b9a\u3055\u308c\u3066\u3044\u308b\u3002<\/p>\n
\u30cb\u30e5\u30fc\u30c8\u30f3\u7406\u8ad6\u306b\u304a\u3044\u3066\u306f\uff0c\uff08\u5358\u4f4d\u8cea\u91cf\u3042\u305f\u308a\u306e\uff09\u89d2\u904b\u52d5\u91cf\u30d9\u30af\u30c8\u30eb<\/p>\n
$$\\boldsymbol{\\ell} \\equiv \\boldsymbol{r} \\times \\frac{d\\boldsymbol{r}}{dt}$$<\/p>\n
\u304c\u4e00\u5b9a\u3067\u3042\u308b\u3053\u3068\u304b\u3089\uff0c\u904b\u52d5\u304c $\\boldsymbol{\\ell} $ \u306b\u5782\u76f4\u306a\u5e73\u9762\u4e0a\u306b\u9650\u3089\u308c\u308b\u3053\u3068\u304c\u793a\u3055\u308c\u308b\u3002\u4ee5\u5f8c $\\boldsymbol{\\ell}$ \u3092 $z$ \u8ef8\u306e\u5411\u304d\u306b\u3068\u308a\uff0c\u3053\u306e\u5e73\u9762\u3092 $xy$ \u5e73\u9762\u3068\u304b\u8d64\u9053\u9762\u3068\u304b\u3044\u3063\u305f\u308a\u3059\u308b\u3002<\/p>\n
\u60d1\u661f\u306f\u592a\u967d\u3092\u7126\u70b9\u306e\u3072\u3068\u3064\u3068\u3059\u308b\u6955\u5186\u8ecc\u9053\u4e0a\u3092\u904b\u52d5\u3059\u308b\u3002\u904b\u52d5\u306f $xy$ \u5e73\u9762\u4e0a\u306b\u9650\u3089\u308c\u308b\u3053\u3068\u304b\u3089\uff0c\u592a\u967d\u306e\u4f4d\u7f6e\u3067\u3042\u308b\u7126\u70b9\u3092\u539f\u70b9\u3068\u3057\u305f\u6975\u5ea7\u6a19\u3067\u60d1\u661f\u306e\u4f4d\u7f6e $(r, \\phi)$ \u3092\u3042\u3089\u308f\u3059\u3068<\/p>\n
$$r = \\frac{a(1-e^2)}{1 + e \\cos\\phi}$$<\/p>\n
\u3053\u3053\u3067 $a$ \u306f\u6955\u5186\u306e\u8ecc\u9053\u9577\u534a\u5f84\uff0c$e$ \u306f\u96e2\u5fc3\u7387\u3002<\/p>\n
$r$ \u306e\u6700\u5c0f\u5024\u3067\u3042\u308b\u8fd1\u70b9\u8ddd\u96e2 $r_{\\rm min}$ \u3068\u6700\u5927\u5024\u3067\u3042\u308b\u9060\u70b9\u8ddd\u96e2 $r_{\\rm max}$ \u306f\u4ee5\u4e0b\u306e\u3088\u3046\u306b\u66f8\u304b\u308c\u308b\uff1a<\/p>\n
\\begin{eqnarray}
\nr_{\\rm min} &=& a (1 -e) \\\\
\nr_{\\rm max} &=& a (1 + e)
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n
\u9006\u306b\uff0c$a$ \u304a\u3088\u3073 $e$ \u306f<\/p>\n
\\begin{eqnarray}
\na &\\equiv& \\frac{r_{\\rm max} + r_{\\rm min}}{2} \\\\
\ne &\\equiv& \\frac{r_{\\rm max} -r_{\\rm min}}{r_{\\rm max} + r_{\\rm min}}
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n
\uff081\u3064\u306e\u60d1\u661f\u306b\u7740\u76ee\u3059\u308b\u3068\uff09\u9762\u7a4d\u901f\u5ea6\u306f\u4e00\u5b9a\u3067\u3042\u308b\u3002\u3053\u306e\u3053\u3068\u306f\uff0c\u7b2c\u30bc\u30ed\u6cd5\u5247\u306b\u304a\u3044\u3066<\/p>\n
$$\\boldsymbol{\\ell} \\Rightarrow (0, 0, \\ell)$$<\/p>\n
\u3068\u3057\u3066\u3044\u308b\u306e\u3067\uff0c<\/p>\n
\\begin{eqnarray}
\n\\left( \\boldsymbol{r} \\times \\frac{d\\boldsymbol{r}}{dt}\\right)_z &=& x \\frac{dy}{dt} -y \\frac{dx}{dt} \\\\
\n&=& r^2 \\frac{d\\phi}{dt} = \\ell
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n
\u6975\u5ea7\u6a19\u3067\u3042\u3089\u308f\u3057\u305f\u9818\u57df $D: 0 \\leq r \\leq r(\\phi) , 0 \\leq \\phi \\leq 2 \\pi$ \u306e\u9762\u7a4d $S$ \u304c<\/p>\n
\\begin{eqnarray}
\nS &=& \\iint_D dx\\, dy \\\\
\n&=& \\iint_D \\, r dr\\, d\\phi \\\\
\n&=& \\int_0^{2 \\pi} d\\phi\\ \\int_0^{r(\\phi)} r \\, dr \\\\
\n&=& \\int_0^{2 \\pi} \\frac{1}{2} r^2(\\phi) \\ d\\phi \\\\
\n&\\equiv& \\int_0^{2 \\pi} dS
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n
\u3067\u3042\u308b\u304b\u3089\uff0c\u5fae\u5c0f\u9762\u7a4d\u8981\u7d20 $\\displaystyle dS \\equiv \\frac{1}{2} r^2 \\, d\\phi$ \u3092\u4f7f\u3063\u3066\u89d2\u904b\u52d5\u91cf\u4fdd\u5b58\u5247\u3092\u3042\u3089\u308f\u3059\u3068<\/p>\n
\\begin{eqnarray}
\nr^2 \\frac{d\\phi}{dt} &=& \\ell \\\\
\n\\therefore\\ \\ 2 \\frac{dS}{dt} &=& \\ell
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n
\u3068\u306a\u308b\u306e\u3067\uff0c$\\displaystyle \\frac{dS}{dt}$ \u3092\u9762\u7a4d\u901f\u5ea6\uff08\u5358\u4f4d\u6642\u9593\u3042\u305f\u308a\u306e\u9762\u7a4d\u306e\u5909\u5316\uff09\u3068\u3057\uff0c\u9762\u7a4d\u901f\u5ea6\u4e00\u5b9a\u3068\u547c\u3093\u3067\u3044\u308b\u3002\u3053\u308c\u306f\u3064\u307e\u308a\u306f\u89d2\u904b\u52d5\u91cf\u4fdd\u5b58\u5247\u305d\u306e\u3082\u306e\u306e\u3053\u3068\u3067\u3042\u308b\u3002<\/p>\n
\u306a\u304a\uff0c\u6975\u5ea7\u6a19\u306e\u3068\u304d\u306e\u5fae\u5c0f\u9762\u7a4d\u8981\u7d20\u306b\u3064\u3044\u3066\u306f\uff0c2\u5e74\u751f\u3067\u3084\u3063\u3066\u3044\u308b\u3002\u4ee5\u4e0b\u306e\u30da\u30fc\u30b8\uff1a<\/p>\n
\uff08\u8ecc\u9053\u9577\u534a\u5f84 $a$ \u3084\u516c\u8ee2\u5468\u671f $T$ \u306f\u60d1\u661f\u3054\u3068\u306b\u7570\u306a\u308b\u304c\uff09\u8ecc\u9053\u9577\u534a\u5f84\u306e\u4e09\u4e57 $a^3$ \u306f\u516c\u8ee2\u5468\u671f\u306e\u4e8c\u4e57 $T^2$ \u306b\u6bd4\u4f8b\u3059\u308b\u3002\u8a00\u3044\u63db\u3048\u308c\u3070\uff0c\u8ecc\u9053\u9577\u534a\u5f84\u306e\u4e09\u4e57\u3068\u516c\u8ee2\u5468\u671f\u306e\u4e8c\u4e57\u306e\u6bd4 $\\displaystyle \\frac{a^3}{T^2}$ \u306f\u60d1\u661f\u306b\u3088\u3089\u305a\u4e00\u5b9a\u3067\u3042\u308b\u3002<\/p>\n
\u3053\u306e\u3053\u3068\u306f\u7b2c2\u6cd5\u5247\u306b $\\ell = \\sqrt{GM a (1-e^2)}$ \u3092\u4ee3\u5165\u3057\u3066\uff08\u306a\u305c\u305d\u3046\u306a\u308b\u304b\u306f\u300c\u53c2\u8003\uff1a\u30cb\u30e5\u30fc\u30c8\u30f3\u529b\u5b66\u306b\u304a\u3051\u308b\u4e07\u6709\u5f15\u529b\u306e2\u4f53\u554f\u984c<\/a>\u300d\u3092\u53c2\u7167\uff09\u4e21\u8fba\u30921\u5468\u671f\uff08$0 \\leq t \\leq T$\uff09\u7a4d\u5206\u3059\u308b\u3068<\/p>\n \\begin{eqnarray} \u3068\u306a\u308b\u3053\u3068\u304b\u3089\u793a\u3055\u308c\u308b\u3002<\/p>\n \u30b7\u30e5\u30d0\u30eb\u30c4\u30b7\u30eb\u30c8\u6642\u7a7a\u4e2d\u306e\u5929\u4f53\u306e\u904b\u52d5\u3092\u307e\u3068\u3081\u308b\u3068\u4ee5\u4e0b\u306e\u3088\u3046\u306b\u306a\u308b\u3002<\/p>\n \u30b7\u30e5\u30d0\u30eb\u30c4\u30b7\u30eb\u30c8\u6642\u7a7a\u4e2d\u306e\u5929\u4f53\u306e\u904b\u52d5\u306f\uff0c\u539f\u70b9\u3092\u901a\u308b\u5e73\u9762\u4e0a\u306b\u9650\u3089\u308c\u308b\u3002\u3053\u306e\u3053\u3068\u306f\u300c\u30b7\u30e5\u30d0\u30eb\u30c4\u30b7\u30eb\u30c8\u6642\u7a7a\u4e2d\u306e\u7c92\u5b50\uff08\u89b3\u6e2c\u8005\uff09\u306e\u904b\u52d5<\/a>\u300d\u306b\u304a\u3044\u3066\uff0c\u300c\u7403\u5bfe\u79f0\u6027\u306b\u3088\u308a\u4e00\u822c\u6027\u3092\u5931\u3046\u3053\u3068\u306a\u304f\u8d64\u9053\u9762\u4e0a\u306b\u904b\u52d5\u3092\u5236\u9650\u3067\u304d\u308b\u300d\u3068\u3044\u3046\u6a19\u8a9e\u3067\u8aac\u660e\u3057\u3066\u3044\u308b\u3002<\/p>\n \u5929\u4f53\u306e\u904b\u52d5\u306f\uff0c\u4e00\u822c\u306b\u9589\u3058\u305f\u6955\u5186\u8ecc\u9053\u3068\u306f\u306a\u3089\u306a\u3044\u3002\u6e2c\u5730\u7dda\u65b9\u7a0b\u5f0f\u306f\u53b3\u5bc6\u306b\u306f\u89e3\u304f\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d\u306a\u3044\u304c\uff0c\u8ecc\u9053\u306e\u3044\u305f\u308b\u3068\u3053\u308d\u3067\u91cd\u529b\u304c\u305d\u308c\u307b\u3069\u5f37\u304f\u306a\u3044\uff08\u8a00\u3044\u63db\u3048\u308b\u3068\uff0c\u8ecc\u9053\u306e\u52d5\u5f84\u5ea7\u6a19 $r$ \u306f\u91cd\u529b\u534a\u5f84 $r_{\\!g}$ \u306b\u6bd4\u3079\u3066\u5341\u5206\u5927\u304d\u3044\uff09\u3068\u3057\u3066\u91cd\u529b\u534a\u5f84 $r_{\\!g}$ \u306e1\u6b21\u307e\u3067\u306e\u8fd1\u4f3c\u89e3\u306f\u4ee5\u4e0b\u306e\u3088\u3046\u306b\u306a\u308b\u3002<\/p>\n $$r = \\frac{a(1-e^2)} {1 + e\\cos (\\gamma \\phi)} \\left\\{ 1 -\\frac{{\\color{red}{r_{\\!g} \\,e^2}}}{2 a (1-e^2)} \\frac{\\sin^2 ({\\color{black}{\\gamma}} \\phi)}{1+e\\cos(\\gamma\\phi)}\\right\\}$$<\/p>\n \u3053\u3053\u3067\uff0c<\/p>\n $$\\gamma \\equiv \\sqrt{1 -\\frac{3 r_{\\!g}}{a(1-e^2)}} \\simeq 1 -\\frac{3 r_{\\!g}}{2a(1-e^2)}$$<\/p>\n \u3067\u3042\u308b\u3002<\/p>\n \u3068\u3082\u3059\u308c\u3070\u8a00\u53ca\u3055\u308c\u306a\u3044 ${\\color{red}{r_{\\!g} \\,e^2}}$ \u306e\u9805\u307e\u3067\u771f\u9762\u76ee\u306b\u6c42\u3081\u305f\u306e\u304c\u6211\u3005\u306e\u3053\u3060\u308f\u308a\u3067\uff0c\u306a\u305c ${\\color{red}{r_{\\!g} \\,e^2}}$ \u306e\u9805\u307e\u3067\u6c42\u3081\u308b\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308b\u306e\u304b\u306e\u8aac\u660e\u3082\u542b\u3081\u3066\uff0c\u4ee5\u4e0b\u306e\u30da\u30fc\u30b8\u306b\u307e\u3068\u3081\u3066\u3044\u308b\u3002<\/p>\n \u306a\u304a\uff0c\u8ecc\u9053\u306f\u3082\u306f\u3084\u9589\u3058\u305f\u6955\u5186\u8ecc\u9053\u3067\u306f\u306a\u3044\u306e\u3067\uff0c\u300c\u8ecc\u9053\u9577\u534a\u5f84\u300d\u3084\u300c\u96e2\u5fc3\u7387\u300d\u3068\u3044\u3046\u8a00\u8449\u306f\u610f\u5473\u3092\u6210\u3055\u306a\u3044\u304c\uff0c\u4e00\u822c\u76f8\u5bfe\u8ad6\u7684\u8ecc\u9053\u306e\u5834\u5408\u3067\u3082\u6709\u754c\u306a\u8ecc\u9053\u3067\u3042\u308c\u3070 $r_{\\rm min} \\leq r \\leq r_{\\rm max}$ \u3067\u3042\u308b\u306e\u3067\uff0c$a$ \u3068 $e$ \u306f\u4ee5\u4e0b\u306e\u5f0f\u3067\u5b9a\u7fa9\u3059\u308b\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d\u308b\uff1a<\/p>\n \\begin{eqnarray} \u30cb\u30e5\u30fc\u30c8\u30f3\u7406\u8ad6\u306b\u304a\u3044\u3066\uff0c\u30b1\u30d7\u30e9\u30fc\u306e\u7b2c2\u6cd5\u5247\u3068\u306f\u89d2\u904b\u52d5\u91cf\u4fdd\u5b58\u5247\u306e\u3053\u3068\u3067\u3042\u3063\u305f\u3002\u4e00\u822c\u76f8\u5bfe\u8ad6\u306b\u304a\u3044\u3066\u3082\u540c\u69d8\u306e\u3053\u3068\u304c\u6210\u308a\u7acb\u3064\u3002\uff08\u4e00\u822c\u76f8\u5bfe\u8ad6\u306b\u304a\u3044\u3066\u306f\u9589\u3058\u305f\u6955\u5186\u8ecc\u9053\u3068\u306f\u306a\u3089\u306a\u3044\u305f\u3081\uff0c\u300c\u9762\u7a4d\u300d\u3068\u3044\u3046\u610f\u5473\u3065\u3051\u306f\u306a\u3044\u3002\uff09<\/p>\n $$r^2 \\frac{d\\phi}{d\\tau} = \\mbox{const.} \\equiv \\ell$$<\/p>\n \u4e00\u822c\u76f8\u5bfe\u8ad6\u306b\u304a\u3051\u308b\u3053\u306e\u5f0f\u306f\uff0c\u30cb\u30e5\u30fc\u30c8\u30f3\u7406\u8ad6\u306b\u304a\u3051\u308b\u30b1\u30d7\u30e9\u30fc\u306e\u7b2c2\u6cd5\u5247\u306e\u5f0f<\/p>\n $$r^2 \\frac{d\\phi}{dt} =\u00a0 \\sqrt{GMa (1-e^2)}$$<\/p>\n \u3068\u6975\u3081\u3066\u3088\u304f\u4f3c\u3066\u3044\u308b\u304c\uff0c\u6ce8\u610f\u3057\u306a\u3051\u308c\u3070\u306a\u3089\u306a\u3044\u306e\u304c\uff0c\u4e00\u822c\u76f8\u5bfe\u8ad6\u306b\u304a\u3051\u308b\u5f0f\u3067\u306f\u56fa\u6709\u6642\u9593 $\\tau$ \u306b\u95a2\u3059\u308b\u5fae\u5206\u3068\u306a\u3063\u3066\u304a\u308a\uff0c\u30cb\u30e5\u30fc\u30c8\u30f3\u7406\u8ad6\u3067\u306f $t$ \u306b\u95a2\u3059\u308b\u5fae\u5206\u3067\u3042\u308b\u3068\u3044\u3046\u9055\u3044\u304c\u3042\u308b\u3053\u3068\u3002\u4e00\u822c\u76f8\u5bfe\u8ad6\u306b\u304a\u3044\u3066\u306f\uff0c\u91cd\u529b\u5834\u4e2d\u306e\u6642\u9593\u306e\u9032\u307f\u306f\u5834\u6240\uff08\u4e2d\u5fc3\u5929\u4f53\u304b\u3089\u306e\u8ddd\u96e2\uff09\u306b\u3088\u3063\u3066\u3082\uff0c\u307e\u305f\u89b3\u6e2c\u8005\u306e\u904b\u52d5\u72b6\u614b\u306b\u3088\u3063\u3066\u3082\u7570\u306a\u308b\u306e\u3067\uff0c\u30cb\u30e5\u30fc\u30c8\u30f3\u7406\u8ad6\u306b\u304a\u3051\u308b\u30b1\u30d7\u30e9\u30fc\u306e\u7b2c2\u6cd5\u5247\u306e\u5f0f\u3068\u6bd4\u8f03\u3059\u308b\u305f\u3081\u306b\u306f\uff0c\u5341\u5206\u9060\u65b9\u306e\u9759\u6b62\u89b3\u6e2c\u8005\u306e\u6642\u9593\u3067\u3042\u308b $t$ \u3067\u306e\u5fae\u5206\u306b\u306a\u304a\u3057\u3066\u304a\u304f\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308b\u3002<\/p>\n \u30b7\u30e5\u30d0\u30eb\u30c4\u30b7\u30eb\u30c8\u6642\u7a7a\u4e2d\u3067\u306e\u6642\u9593\u306e\u9045\u308c\u3092\u7d71\u4e00\u7684\u306b\u7406\u89e3\u3059\u308b\u305f\u3081\u306b\u6c42\u3081\u305f\u5f0f<\/a><\/p>\n $$d\\tau = dt \\,\\frac{1 -\\frac{r_{\\!g}}{r}}{\\epsilon}$$<\/p>\n \u3092\u4f7f\u3063\u3066\uff0c\u56fa\u6709\u6642\u9593 $\\tau$ \u306e\u5fae\u5206\u3067\u306f\u306a\u304f\u5ea7\u6a19\u6642\u9593 $t$ \uff08\u3053\u308c\u306f\u5341\u5206\u9060\u65b9\u306e\u89b3\u6e2c\u8005\u306e\u6642\u9593\u3068\u3044\u3063\u3066\u3082\u3088\u3044\uff09\u306e\u5fae\u5206\u3067\u3042\u3089\u308f\u3059\u3068<\/p>\n $$r^2 \\frac{d\\phi}{dt} = \\frac{\\ell}{\\epsilon}\\left(1 -\\frac{\\color{red}{r_{\\!g}}}{r} \\right)$$<\/p>\n \u3068\u306a\u308b\u3002\u3053\u3053\u3067 $\\ell$ \u304a\u3088\u3073 $\\epsilon$ \u306f\u904b\u52d5\u306e\u5b9a\u6570\u3067\u3042\u308a\uff0c\u6e2c\u5730\u7dda\u65b9\u7a0b\u5f0f\u3092\u89e3\u304f\u3053\u3068\u306b\u3088\u3063\u3066\u4ee5\u4e0b\u306e\u3088\u3046\u306b\uff08\u8fd1\u4f3c\u306a\u3057\u306b\uff09\u66f8\u3051\u308b\u3053\u3068\u304c\u308f\u304b\u308b\u3002<\/p>\n \\begin{eqnarray} \u3053\u306e\u3078\u3093\u306e\u4e8b\u60c5\u3084 $\\ell, \\epsilon$ \u306e\u5177\u4f53\u7684\u306a\u6c42\u3081\u65b9\u306b\u3064\u3044\u3066\u306f\u4ee5\u4e0b\u306e\u30da\u30fc\u30b8\u306b\u307e\u3068\u3081\u3066\u3044\u308b\u3002<\/p>\n <\/p>\n \u3055\u3066\uff0c\u3053\u3053\u3067\u6c42\u3081\u305f\u4e00\u822c\u76f8\u5bfe\u8ad6\u7684\u306a\u30b1\u30d7\u30e9\u30fc\u306e\u7b2c2\u6cd5\u5247\u306e\u5f0f\u306e\u53f3\u8fba\u306b\u306f\u6642\u9593\u7684\u306b\u5909\u5316\u3059\u308b $r$ \u304c\u3042\u308b\u3053\u3068\u304b\u3089\uff0c\u300c\u9762\u7a4d\u901f\u5ea6\u300d\u306e2\u500d\u306b\u76f8\u5f53\u3059\u308b $r^2 \\dfrac{d\\phi}{dt}$ \u306f\u4e00\u5b9a\u3068\u306f\u306a\u3089\u306a\u3044\u3053\u3068\u304c\u305f\u3060\u3061\u306b\u308f\u304b\u308b\u3002\u4e00\u822c\u76f8\u5bfe\u8ad6\u7684\u306a\u5929\u4f53\u306e\u904b\u52d5\u306b\u3064\u3044\u3066\u306f\uff0c\u9762\u7a4d\u901f\u5ea6\u306f\u4e00\u5b9a\u3068\u306f\u306a\u3089\u306a\u3044\u3002<\/p>\n \u3055\u3089\u306b\uff0c\u4e00\u822c\u76f8\u5bfe\u8ad6\u7684\u88dc\u6b63\u9805\u306f\u5168\u3066\u91cd\u529b\u534a\u5f84 ${\\color{red}{r_{\\!g}}}$ \u3092\u542b\u3080\u305f\u3081\uff0c\u91cd\u529b\u5834\u304c\u5341\u5206\u5f31\u3044\uff08\u91cd\u529b\u534a\u5f84 $r_{\\!g}$ \u306e\u5341\u5206\u5916\u5074 $r_{\\!g} \\ll r$ \u3092\u904b\u52d5\u3059\u308b\uff09\u3068\u3057\u3066 $$\\dfrac{\\color{red}{r_{\\!g}}}{r} \\ll 1, \\\u00a0 \\dfrac{\\color{red}{r_{\\!g}}}{a} \\ll 1$$ \u3068\u3057\u3066\u3053\u308c\u3089\u306e\u9805\u3092\u7121\u8996\u3059\u308c\u3070\uff0c<\/p>\n \\begin{eqnarray} \u3068\u306a\u308a\uff0c\u30cb\u30e5\u30fc\u30c8\u30f3\u7406\u8ad6\u306b\u304a\u3051\u308b\u30b1\u30d7\u30e9\u30fc\u306e\u7b2c2\u6cd5\u5247\u3092\u518d\u73fe\u3059\u308b\u3053\u3068\u3082\u660e\u3089\u304b\u3067\u3042\u308b\u3002<\/p>\n \u30cb\u30e5\u30fc\u30c8\u30f3\u7406\u8ad6\u3068\u540c\u69d8\u306b\u30b1\u30d7\u30e9\u30fc\u306e\u7b2c2\u6cd5\u5247\u306e\u4e21\u8fba\u30921\u5468\u671f\u5206\uff0c\u7a4d\u5206\u3059\u308b\u306e\u3067\u3042\u308b\u304c\uff0c\u4e00\u822c\u76f8\u5bfe\u8ad6\u3067\u306f\u8ecc\u9053\u304c\u9589\u3058\u305f\u6955\u5186\u8ecc\u9053\u3068\u306a\u3089\u306a\u3044\u305f\u3081\uff0c\u3069\u3053\u304b\u3089\u3069\u3053\u307e\u3067\u30921\u5468\u671f\u3068\u3059\u308b\u304b\uff0c\u5b9a\u7fa9\u3057\u3066\u304a\u304f\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308b\u3002<\/p>\n \u3053\u3053\u3067\u306f\uff0c$x \\equiv \\gamma\\,\\phi$ \u3068\u3059\u308b\u3068\uff0c<\/p>\n $$r = \\frac{a(1-e^2)} {1 + e\\cos x} \\left\\{ 1 -\\frac{{\\color{black}{r_{\\!g} \\,e^2}}}{2 a (1-e^2)} \\frac{\\sin^2 x}{1+e\\cos x}\\right\\}$$<\/p>\n \u3067\u3042\u308b\u304b\u3089\uff0c$t = 0$ \u306e\u3068\u304d $x = 0$ \u3067\u6700\u5c0f\u5024 $r=r_{\\rm min}$ \u3092\u3068\u308b $r$ \u304c $x = 2 \\pi$ \u3067\u518d\u3073\u6700\u5c0f\u5024\u306b\u306a\u308b\u307e\u3067\u306e\u7d4c\u904e\u5ea7\u6a19\u6642\u9593\uff08\u9060\u65b9\u89b3\u6e2c\u8005\u306e\u7d4c\u904e\u6642\u9593\uff09$t = T$ \u3092\u300c\u5468\u671f\u300d\u3068\u3059\u308b\u3002<\/p>\n \u3059\u308b\u3068\uff0c<\/p>\n \\begin{eqnarray} \u307e\u305a\uff0c\u53f3\u8fba\u3092 $r_{\\!g}$ \u306e1\u6b21\u307e\u3067\u306e\u8fd1\u4f3c\u3067\u6c42\u3081\u308b\u3068\uff08\u300c\u5f31\u91cd\u529b\u5834\u4e2d\u306e\u7c92\u5b50\u306e\u8ecc\u9053\u306e\u8fd1\u4f3c\u89e3\uff1a\u8fd1\u70b9\u79fb\u52d5<\/a>\u300d\u53c2\u7167\uff09<\/p>\n \\begin{eqnarray} \u6b21\u306b\uff0c\u5de6\u8fba\u306e\u88ab\u7a4d\u5206\u95a2\u6570\u3092\u540c\u3058\u304f$r_{\\!g}$ \u306e1\u6b21\u307e\u3067\u306e\u8fd1\u4f3c\u3067\u6c42\u3081\u308b\u3068<\/p>\n \\begin{eqnarray} \u7a4d\u5206\u306b\u3064\u3044\u3066\u306f\u300c\u771f\u8fd1\u70b9\u96e2\u89d2\u3068\u96e2\u5fc3\u8fd1\u70b9\u96e2\u89d2\u3068\u306e\u95a2\u4fc2\u306b\u3064\u3044\u3066\u3082\u3046\u5c11\u3057<\/a>\u300d\u306e\u4f8b 1. ~ 3. \u306b\u307e\u3068\u3081\u3066\u3044\u308b\u306e\u3067\uff0c\u3042\u3089\u305f\u3081\u3066\u66f8\u304d\u5199\u3059\u3068\uff0c<\/p>\n \\begin{eqnarray} \u3057\u305f\u304c\u3063\u3066<\/p>\n \\begin{eqnarray} \u5de6\u8fba\u3068\u53f3\u8fba\u3092\u7b49\u3057\u3044\u3068\u304a\u3044\u3066<\/p>\n \\begin{eqnarray} $\\displaystyle \\frac{a^3}{T^2}$ \u306f\u60d1\u661f\u306b\u3088\u3089\u305a\u4e00\u5b9a\u3068\u3044\u3046\u308f\u3051\u3067\u306f\u306a\u304f\uff0c\u4e00\u822c\u76f8\u5bfe\u8ad6\u7684\u306a\u88dc\u6b63 $\\displaystyle \\left( 1 -3 \\frac{r_{\\!g}}{a}\\right)$ \u304c\u3064\u304f\uff0c\u3068\u3044\u3046\u7d50\u679c\u306b\u306a\u3063\u305f\u3002<\/p>\n \u7d4c\u904e\u56fa\u6709\u6642\u9593\u3092\u5468\u671f\u3068\u3057\u305f\u5834\u5408\u306b\u3064\u3044\u3066\u3082\u307e\u3068\u3081\u3066\u304a\u304f\u3002<\/p>\n $\\tau = 0$ \u306e\u3068\u304d $x = 0$ \u3067\u6700\u5c0f\u5024 $r=r_{\\rm min}$ \u3092\u3068\u308b $r$ \u304c $x = 2 \\pi$ \u3067\u518d\u3073\u6700\u5c0f\u5024\u306b\u306a\u308b\u307e\u3067\u306e\u7d4c\u904e\u56fa\u6709\u6642\u9593 $\\tau$ \u3092\u300c\u5468\u671f\u300d$T_{\\tau}$ \u3068\u3059\u308b\u3002<\/p>\n \u3059\u308b\u3068\uff0c<\/p>\n \\begin{eqnarray} \u307e\u305a\u53f3\u8fba\u3092 $r_{\\!g}$ \u306e1\u6b21\u307e\u3067\u6c42\u3081\u308b\u3068\uff0c<\/p>\n \\begin{eqnarray} \u4e00\u65b9\uff0c\u5de6\u8fba\u306f<\/p>\n \\begin{eqnarray} \u3088\u3063\u3066<\/p>\n \\begin{eqnarray} \u56fa\u6709\u6642\u9593\u3067\u306e\u5468\u671f $\\color{red}T_{\\tau}$ \u3068\u5ea7\u6a19\u6642\u9593\uff08\u9060\u65b9\u89b3\u6e2c\u8005\u6642\u9593\uff09\u3067\u306e\u5468\u671f $\\color{blue}T$ \u3068\u306e\u95a2\u4fc2\u306f<\/p>\n \\begin{eqnarray} \u300c\u30b7\u30e5\u30d0\u30eb\u30c4\u30b7\u30eb\u30c8\u6642\u7a7a\u4e2d\u3092\u904b\u52d5\u3059\u308b\u6642\u8a08\u304c\u793a\u3059\u6642\u9593\u306e\u9045\u308c\uff1a\u305d\u306e\u7d71\u4e00\u7684\u306a\u7406\u89e3\u306e\u307e\u3068\u3081<\/a>\u300d\u306e\u300c\uff08\u307b\u307c\uff09\u6955\u5186\u8ecc\u9053\u306e\u5834\u5408\u306e\u6642\u9593\u306e\u9045\u308c<\/a>\u300d\u306e\u9805\u3082\u53c2\u7167\u3002<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" \u4e00\u822c\u76f8\u5bfe\u8ad6\u7684\u306a\u91cd\u529b\u5834\u3067\u3042\u308b\u30b7\u30e5\u30d0\u30eb\u30c4\u30b7\u30eb\u30c8\u6642\u7a7a\u4e2d\u306e\u5929\u4f53\u306e\u904b\u52d5\u306b\u3064\u3044\u3066\u8abf\u3079\uff0c\u30cb\u30e5\u30fc\u30c8\u30f3\u7406\u8ad6\u306b\u304a\u3051\u308b\u30b1\u30d7\u30e9\u30fc\u306e\u6cd5\u5247\u304c\u3069\u306e\u3088\u3046\u306a\u4fee\u6b63\u3092\u53d7\u3051\u308b\u304b\u3092\u793a\u3059\u3002<\/p>
\n2 \\frac{dS}{dt} &=& \\ell = \\sqrt{GM a (1-e^2)} \\\\
\n2 \\int dS &=& \\sqrt{GM a (1-e^2)} \\int_0^T\\, dt \\\\
\n2 S = 2 \\pi a^2 \\sqrt{1-e^2} &=& \\sqrt{GM a (1-e^2)}\\ T \\\\
\n4 \\pi^2 a^4 (1 -e^2) &=& G M a (1 -e^2)\\ T^2 \\\\
\n\\therefore\\ \\ \\frac{a^3}{T^2} &=& \\frac{GM}{4 \\pi^2} = \\mbox{const.}
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n\u4e00\u822c\u76f8\u5bfe\u8ad6\u7684\u306a\u5929\u4f53\u306e\u904b\u52d5<\/h3>\n
\u4e00\u822c\u76f8\u5bfe\u8ad6\u7684\u306a\u30b1\u30d7\u30e9\u30fc\u306e\u7b2c0\u6cd5\u5247<\/h4>\n
\u4e00\u822c\u76f8\u5bfe\u8ad6\u7684\u306a\u30b1\u30d7\u30e9\u30fc\u306e\u7b2c1\u6cd5\u5247<\/h4>\n
\n
\na &\\equiv& \\frac{r_{\\rm max} + r_{\\rm min}}{2} \\\\
\ne &\\equiv& \\frac{r_{\\rm max} -r_{\\rm min}}{r_{\\rm max} + r_{\\rm min}}
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n\u4e00\u822c\u76f8\u5bfe\u8ad6\u7684\u306a\u30b1\u30d7\u30e9\u30fc\u306e\u7b2c2\u6cd5\u5247<\/h4>\n
\n\\ell &=& \\sqrt{GM a (1-e^2)} \\left( 1 + \\frac{(3+e^2) {\\color{red}{r_{\\!g}}}}{2a(1-e^2) \u2013(3+e^2) {\\color{red}{r_{\\!g}}}}\\right)^{\\tfrac{1}{2}} \\\\
\n\\epsilon &=& \\left(1\u00a0 \u2013\\frac{{\\color{red}{r_{\\!g}}}}{2 a} + \\frac{{\\color{red}{r_{\\!g}^2}}\u00a0 (1-e^2) }{4a^2(1-e^2) \u20132a(3+e^2) {\\color{red}{r_{\\!g}}}} \\right)^{\\tfrac{1}{2}}
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n\n
\n\\ell &\\Rightarrow& \\sqrt{GM a (1-e^2)} \\\\
\n\\epsilon &\\Rightarrow& 1 \\\\
\n\\therefore\\ \\ r^2 \\frac{d\\phi}{dt}&\\Rightarrow& \\sqrt{GM a (1-e^2)}
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n\u4e00\u822c\u76f8\u5bfe\u8ad6\u7684\u306a\u30b1\u30d7\u30e9\u30fc\u306e\u7b2c3\u6cd5\u5247<\/h4>\n
\n\\frac{r^2}{1 -\\frac{r_{\\!g}}{r}} \\frac{d\\phi}{dt} &=& \\frac{\\ell}{\\epsilon} \\\\
\n\\therefore\\ \\ \\frac{r^2}{1 -\\frac{r_{\\!g}}{r}} \\frac{dx}{dt} &=& \\gamma \\frac{\\ell}{\\epsilon} \\\\
\n\\therefore\\ \\ \\int_0^{2 \\pi} \\frac{r^2}{1 -\\frac{r_{\\!g}}{r}} \\, dx &=& \\gamma \\frac{\\ell}{\\epsilon}\\, \\int_0^T\\, dt = \\gamma \\frac{\\ell}{\\epsilon}\\, T
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n
\n\\epsilon &\\simeq& \\sqrt{1 -\\frac{r_{\\!g}}{2 a}} \\\\
\n&\\simeq& 1\u00a0 -\\frac{r_{\\!g}}{4 a} \\\\
\n\\ell &\\simeq& \\sqrt{G M a (1 -e^2)} \\sqrt{1 + \\frac{3 +e^2}{2 a (1 -e^2)} r_{\\!g}} \\\\
\n&\\simeq& \\sqrt{G M a (1 -e^2)} \\left(1 + \\frac{3 +e^2}{4 a (1 -e^2)} r_{\\!g}\\right) \\\\
\n\\therefore\\ \\ \\gamma \\frac{\\ell}{\\epsilon}\\, T &\\simeq& T \\,
\n\\left( 1 -\\frac{3 r_{\\!g}}{2a(1-e^2)}\\right) \\sqrt{G M a (1 -e^2)} \\left(1 + \\frac{3 +e^2}{4 a (1 -e^2)} r_{\\!g}\\right) \\left(1\u00a0 + \\frac{r_{\\!g}}{4 a}\\right) \\\\
\n&\\simeq&T\\, \\sqrt{G M a (1 -e^2)} \\,\\left( 1 – \\frac{r_{\\!g}}{2 a (1 -e^2)}\\right)
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n
\n\\frac{r^2}{1 -\\frac{r_{\\!g}}{r}} &\\simeq& r^2 + r_{\\!g} r \\\\
\n&\\simeq& \\frac{a^2 (1-e^2)^2} {(1 + e\\cos x)^2 } \\left\\{ 1 -\\frac{{\\color{black}{r_{\\!g} \\,e^2}}}{a (1-e^2)} \\frac{\\sin^2 x}{1+e\\cos x}\\right\\} + \\frac{a(1-e^2)} {1 + e\\cos x} r_{\\!g} \\\\
\n&=& a^2 (1-e^2)^2 \\frac{1} {(1 + e\\cos x)^2 } \\\\
\n&& \\quad -a (1 -e^2) e^2 r_{\\!g} \\frac{\\sin^2 x}{(1 + e\\cos x)^3} \\\\
\n&& \\quad + a (1 -e^2) r_{\\!g} \\frac{1}{1 + e\\cos x}
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n
\n\\int_0^{2 \\pi} \\frac{1}{(1 + e \\cos x)^2}\\,dx &=& \\frac{2 \\pi \\sqrt{1 -e^2}}{(1 -e^2)^2} \\\\
\n\\int_0^{2 \\pi} \\frac{\\sin^2 x}{(1 + e \\cos x)^3} \\,dx &=& \\frac{\\pi \\sqrt{1 -e^2}}{(1 -e^2)^2} \\\\
\n\\int_0^{2 \\pi} \\frac{1}{1 + e \\cos x}\\,dx &=& \\frac{2 \\pi}{\\sqrt{1 -e^2}}
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n
\n\\int_0^{2 \\pi} \\frac{r^2}{1 -\\frac{r_{\\!g}}{r}} \\, dx
\n&=& a^2 (1-e^2)^2 \\int_0^{2 \\pi}\\frac{1} {(1 + e\\cos x)^2 } \\, dx \\\\
\n&& \\quad -a (1 -e^2) e^2 r_{\\!g} \\int_0^{2 \\pi} \\frac{\\sin^2 x}{(1 + e\\cos x)^3} \\, dx \\\\
\n&& \\quad + a (1 -e^2) r_{\\!g} \\int_0^{2 \\pi} \\frac{1}{1 + e\\cos x} \\, dx \\\\
\n&=& a^2 (1-e^2)^2 \\ \\frac{2 \\pi \\sqrt{1 -e^2}}{(1 -e^2)^2} \\\\
\n&& \\quad -a (1 -e^2) e^2 r_{\\!g} \\ \\frac{\\pi \\sqrt{1 -e^2}}{(1 -e^2)^2}\u00a0 \\\\
\n&& \\quad + a (1 -e^2) r_{\\!g} \\ \\frac{2 \\pi}{\\sqrt{1 -e^2}} \\\\
\n&=& 2 \\pi a^2 \\sqrt{1 -e^2} \\left\\{1 + \\frac{2 -3 e^2}{ 2 a (1 -e^2)} r_{\\!g} \\right\\}
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n
\n2 \\pi a^2 \\sqrt{1 -e^2} \\left\\{1 + \\frac{2 -3 e^2}{ 2 a (1 -e^2)} r_{\\!g} \\right\\} &=&
\nT\\, \\sqrt{G M a (1 -e^2)} \\,\\left\\{ 1 – \\frac{r_{\\!g}}{2 a (1 -e^2)}\\right\\} \\\\
\n\\therefore\\ \\ \\frac{2 \\pi}{\\sqrt{GM}}a^{\\frac{3}{2}} &=& T\\, \\frac{1 – \\frac{r_{\\!g}}{2 a (1 -e^2)}} {1 + \\frac{2 -3 e^2}{ 2 a (1 -e^2)} r_{\\!g}} \\\\
\n&\\simeq& T\\, \\left( 1 -\\frac{3}{2} \\frac{r_{\\!g}}{a}\\right) \\\\
\n\\therefore\\ \\ \\frac{a^3}{T^2} &\\simeq& \\frac{GM}{4 \\pi^2}\\left( 1 -3 \\frac{r_{\\!g}}{a}\\right)
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n
\nr^2 \\frac{d\\phi}{d\\tau} &=& \\ell \\\\
\n\\therefore\\ \\ r^2 \\frac{dx}{d\\tau} &=& \\gamma \\ell \\\\
\n\\therefore\\ \\ \\int_0^{2 \\pi} r^2 \\, dx &=& \\gamma \\ell\\, \\int_0^{T_{\\tau}}\\, d\\tau = \\gamma \\ell \\,T_{\\tau}
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n
\n\\gamma \\ell \\,T_{\\tau} &\\simeq& T_{\\tau}\\, \\left( 1 -\\frac{3 r_{\\!g}}{2a(1-e^2)}\\right) \\, \\sqrt{G M a (1 -e^2)} \\left(1 + \\frac{3 +e^2}{4 a (1 -e^2)} r_{\\!g}\\right) \\\\
\n&\\simeq& T_{\\tau}\\, \\sqrt{G M a (1 -e^2)} \\,\\left( 1 + \\frac{e^2 -3}{4 a (1 -e^2)} r_{\\!g}\\right)
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n
\n\\int_0^{2 \\pi} r^2 \\, dx &=& 2 \\pi a^2 \\sqrt{1-e^2} \\left(1 – \\frac{e^2}{2 a (1 -e^2)} r_{\\!g} \\right)
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n
\n2 \\pi a^2 \\sqrt{1-e^2} \\left(1 – \\frac{e^2}{2 a (1 -e^2)} r_{\\!g} \\right) &=&
\nT_{\\tau}\\, \\sqrt{G M a (1 -e^2)}\\,\\left( 1 + \\frac{e^2 -3}{4 a (1 -e^2)} r_{\\!g}\\right) \\\\
\n\\therefore\\ \\ \\frac{a^3}{T_{\\tau}^2} &=& \\frac{GM}{4 \\pi^2} \\left(1 – \\frac{3}{2} \\frac{r_{\\!g}}{a} \\right)
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n
\n{\\color{red}T_{\\tau}}^2 \\left(1 – \\frac{3}{2} \\frac{r_{\\!g}}{a} \\right) &=& {\\color{blue}T}^2 \\left(1 – 3 \\frac{r_{\\!g}}{a} \\right) \\\\
\n\\therefore\\ \\ {\\color{red}T_{\\tau}} \u00a0&\\simeq& {\\color{blue}T} \\, \\sqrt{1 – \\frac{3}{2} \\frac{r_{\\!g}}{a}}
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n