\u5730\u9762\u304b\u3089\u9ad8\u3055 $h$ \u306e\u5730\u70b9\u304b\u3089\u7a7a\u6c17\u62b5\u6297\u306a\u3057\u306e\u659c\u65b9\u6295\u5c04\u3092\u884c\u3046\u3068\uff0c\u6c34\u5e73\u65b9\u5411\u306e\u5230\u9054\u8ddd\u96e2\u304c\u6700\u5927\u3068\u306a\u308b\u306e\u306f\u6253\u3061\u4e0a\u3052\u89d2\u5ea6\uff08\u4ef0\u89d2\uff09\u304c\u4f55\u5ea6\u306e\u3068\u304d\u304b\u3092\u6c42\u3081\u308b\u305f\u3081\u306e\u6e96\u5099\u3002<\/p>\n
<\/p>\n
\u307e\u305a\u306f\u4e88\u60f3\u3092\u305f\u3066\u3066\u307f\u3088\u3046\u3002<\/p>\n
\u5730\u9762\u304b\u3089\u9ad8\u3055 $h$ \u306e\u5730\u70b9\u304b\u3089\u7a7a\u6c17\u62b5\u6297\u306a\u3057\u306e\u659c\u65b9\u6295\u5c04\u306e\u554f\u984c\u3002\u521d\u901f\u5ea6\u306e\u5927\u304d\u3055\u304c\u4e00\u5b9a\u306e\u6761\u4ef6\u3067\uff0c\u5730\u9762\u304b\u3089\u9ad8\u3055 $h$ \u306e\u5730\u70b9\u304b\u3089\u6295\u5c04\u3055\u308c\u305f\u7269\u4f53\u306e\u6c34\u5e73\u5230\u9054\u8ddd\u96e2\u304c\u6700\u5927\u3068\u306a\u308b\u6295\u5c04\u89d2 $\\theta$ \u306f…<\/p>\n
<\/p>\n
\u6c34\u5e73\u65b9\u5411\u3092 \\(x\\)\uff0c\u925b\u76f4\u4e0a\u5411\u304d\u3092 \\(y\\) \u3068\u3059\u308b\u3068\uff0c\u904b\u52d5\u65b9\u7a0b\u5f0f\u306f\u91cd\u529b\u52a0\u901f\u5ea6\u306e\u5927\u304d\u3055\u3092 \\(g\\) \u3068\u3057\u3066<\/p>\n
\\begin{eqnarray}
\n\\frac{d^2 x}{dt^2} &=& 0 \\\\
\n\\frac{d^2 y}{dt^2} &=& -g
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n
\u521d\u671f\u6761\u4ef6\u3092 \\(t = 0\\) \u3067<\/p>\n
$$x(0) = 0, \\quad y(0) = h, \\quad v_x(0)\u00a0 = v_0 \\cos\\theta, \\quad v_y(0) = v_0 \\sin \\theta$$<\/p>\n
\u3068\u3057\u305f\u3068\u304d\u306e\u89e3\u306f<\/p>\n
\\begin{eqnarray}
\nx(t) &=& v_0 \\cos\\theta\\cdot t \\\\
\ny(t) &=& h + v_0 \\sin\\theta\\cdot t -\\frac{1}{2} g t^2 \\\\
\nv_x(t) &=& v_0 \\cos\\theta \\\\
\nv_y(t) &=& v_0 \\sin\\theta -g t
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n
$h=0$ \u306e\u3068\u304d\u306e\u6700\u5927\u5230\u9054\u8ddd\u96e2\u306f $\\theta = 45^{\\circ}$ \u306e\u3068\u304d\u3067\u3042\u308b\u3053\u3068\u3092\u793a\u3057\u3066\u304a\u304f\u3002<\/p>\n
\u5730\u9762 $y=0$ \u304b\u3089\u6253\u3061\u4e0a\u3052\u3066\u518d\u3073\u5730\u9762 $y = 0$ \u306b\u843d\u3061\u308b\u307e\u3067\u306e\u6ede\u7a7a\u6642\u9593 $t_1\\ (>0)$ \u306f<\/p>\n
$$y(t_1) = v_0 \\sin\\theta\\cdot t_1 -\\frac{1}{2} g t_1^2\u00a0 =0$$<\/p>\n
\u3088\u308a<\/p>\n
$$t_1 = \\frac{2 v_0}{g} \\sin\\theta$$<\/p>\n
\u3053\u306e\u6642\u9593\u3067\u306e\u6c34\u5e73\u65b9\u5411\u306e\u5230\u9054\u8ddd\u96e2\u306f<\/p>\n
$$x(t_1) = v_0 \\cos\\theta \\,t_1 = \\frac{2 v_0^2}{g} \\sin\\theta\\,\\cos\\theta = \\frac{v_0^2}{g} \\sin 2\\theta$$<\/p>\n
\u3067\uff0c$x(t_1)$ \u304c\u6700\u5927\u3068\u306a\u308b\u306e\u306f $\\sin 2\\theta = 1$ \u3059\u306a\u308f\u3061 $\\theta = 45^{\\circ}$ \u306e\u3068\u304d\u3067\u3042\u3063\u305f\u3002\u305d\u306e\u3068\u304d\u306e\u6700\u5927\u5230\u9054\u8ddd\u96e2\u306f<\/p>\n
$$x_{\\rm max} = \\frac{v_0^2}{g} $$<\/p>\n
<\/p>\n
\u3053\u306e\u7cfb\u306b\u7279\u5fb4\u7684\u306a\u6642\u9593 \\(\\displaystyle \\tau \\equiv \\frac{v_0}{g}\\) \u304a\u3088\u3073\u9577\u3055 \\(\\displaystyle \\ell \\equiv v_0 \\tau = \\frac{v_0^2}{g}\\) \u3067\u89e3\u3092\u7121\u6b21\u5143\u5316\u3057\u3066\u304a\u304f\u3002<\/p>\n
\\begin{eqnarray}
\nT &\\equiv& \\frac{t}{\\tau} \\\\
\nH &\\equiv& \\frac{h}{\\ell} \\\\
\nX(T, \\theta) &\\equiv& \\frac{x}{\\ell} = T \\,\\cos\\theta \\tag{1}\\\\
\nY(T, \\theta)&\\equiv& \\frac{y}{\\ell} = H+ T\\,\\sin\\theta -\\frac{1}{2} T^2\u00a0 \\tag{2}\\\\
\nV_x &\\equiv& \\frac{dX}{dT} = \\cos\\theta \\\\
\nV_y &\\equiv& \\frac{dY}{dT} = \\sin\\theta -T
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n
\u4e00\u822c\u306e $H > 0$ \u306e\u5834\u5408\uff0c\u5730\u9762\u3088\u308a\u9ad8\u3055 \\(H\\) \u306e\u5834\u6240\u304b\u3089\u6295\u5c04\u3057\u3066\u5730\u9762 \\(Y=0\\) \u306b\u843d\u3061\u308b\u307e\u3067\u306e\u6ede\u7a7a\u6642\u9593 \\(T_1 \\ (>0)\\) \u306f \\((2)\\) \u5f0f\u304b\u3089<\/p>\n
\\begin{eqnarray}
\nY(T_1, \\theta) &=& H + \\sin\\theta\\cdot T_1 -\\frac{1}{2} T_1^2 = 0
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n
\u3088\u308a\uff082\u6b21\u65b9\u7a0b\u5f0f\u306e\u89e3\u306e\u516c\u5f0f\u306e\u6b63\u306e\u89e3\u306e\u307f\u3092\u53d6\u308a\u51fa\u305b\u3070\u3088\u3044\u306e\u3067\uff09<\/p>\n
$$ T_1 = \\sin\\theta + \\sqrt{\\sin^2\\theta + 2 H}$$<\/p>\n
\u3053\u306e\u6642\u9593\u3067\u306e\u6c34\u5e73\u65b9\u5411\u306e\u5230\u9054\u8ddd\u96e2 \\(L\\) \u306f \\((1)\\) \u5f0f\u304b\u3089<\/p>\n
\\begin{eqnarray}
\nL &=& T_1 \\cos\\theta \\\\
\n&=& \\sin\\theta \\cos\\theta + \\sqrt{\\sin^2\\theta \\cos^2\\theta + 2 H \\cos^2\\theta}
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n
\u3053\u306e\u307e\u307e\u3067\u3082\u3088\u3044\u304c\uff0c$t \\equiv \\tan\\theta$\u00a0 \u3068\u3057\u3066 $L$\u00a0 \u3092 $t$ \u3067\u66f8\u304d\u76f4\u3059\u3068\uff0c<\/p>\n
\\begin{eqnarray}
\n\\cos^2\\theta &=& \\frac{1}{1 + t^2} \\\\
\n\\sin\\theta \\cos\\theta &=& \\tan\\theta \\cos^2\\theta = \\frac{t}{1+t^2} \\\\
\n\\therefore\\ \\ L_t(t) &=& \\frac{t}{1+t^2} + \\sqrt{\\left(\\frac{t}{1+t^2} \\right)^2 + \\frac{2 H}{1+t^2}} \\\\
\n&=& \\frac{1}{1+t^2} \\left\\{t + \\sqrt{(1+2H) \\,t^2 + 2H} \\right\\}
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n
\u6c34\u5e73\u5230\u9054\u8ddd\u96e2\u304c\u6700\u5927\u3068\u306a\u308b\u306e\u306f $\\displaystyle \\frac{d L_t(t)}{dt} = 0$ \u3068\u306a\u308b $t=t_{\\rm max}$ \u306e\u3068\u304d\u3067\u3042\u308b\u3002\u53c2\u8003\u30da\u30fc\u30b8\u3067\u89e3\u3044\u3066\u3044\u308b\u3088\u3046\u306b\uff0c<\/p>\n
$$t_{\\rm max} = \\tan \\theta_{\\rm max} = \\frac{1}{\\sqrt{1 + 2H}}$$<\/p>\n
\u3067\u3042\u308a\uff0c\u305d\u306e\u3068\u304d\u306e\u6700\u5927\u6c34\u5e73\u5230\u9054\u8ddd\u96e2\u306f<\/p>\n
$$L_{\\rm max} \\equiv L_t(t_{\\rm max} ) = \\sqrt{1 + 2H}$$<\/p>\n
\u3068\u306a\u308b\u3053\u3068\u304c\u308f\u304b\u308a\u307e\u3059\u3002\uff08\u624b\u8a08\u7b97\u306e\u307f\u3067\u3084\u308b\u306e\u306f\u3057\u3093\u3069\u3044\u306e\u3067 SymPy \u6d3b\u7528\u3002\uff09<\/p>\n
\u53c2\u8003\uff1a<\/p>\n
\u5730\u9762\u304b\u3089\u9ad8\u3055 $h$ \u306e\u5730\u70b9\u304b\u3089\u7a7a\u6c17\u62b5\u6297\u306a\u3057\u306e\u659c\u65b9\u6295\u5c04\u3092\u884c\u3046\u3068\uff0c\u6c34\u5e73\u65b9\u5411\u306e\u5230\u9054\u8ddd\u96e2\u304c\u6700\u5927\u3068\u306a\u308b\u306e\u306f\u6253\u3061\u4e0a\u3052\u89d2\u5ea6\uff08\u4ef0\u89d2\uff09\u304c\u4f55\u5ea6\u306e\u3068\u304d\u304b\u3092\u6c42\u3081\u308b\u305f\u3081\u306e\u6e96\u5099\u3002<\/p>