Return to 弱重力場中の光の経路の近似解

補足:非同次2階線形微分方程式の特解を求める

非同次2階線形微分方程式の解法

$$ \frac{d^2 y}{d\phi^2} + y = \frac{3}{2 b^2} \sin^2\phi \equiv R(\phi)$$

非同次項 \(R(\phi)\) をもつ,この非同次2階線形微分方程式の特解を求める手法はよく知られている。

まず,\(R(\phi) = 0\) とした同次方程式の一般解を \(y_1(\phi), y_2(\phi) \) とし,これらからロンスキアン \(W(\phi) \equiv y_1\, y’_2 – y’_1\,y_2\) を求め,以下の公式に入れて特解 \(y_s\) を求める。
$$y_s = y_2(\phi) \int^{\phi}\frac{R(\varphi) y_1(\varphi)}{W(\varphi)} d\varphi –
y_1(\phi) \int^{\phi}\frac{R(\varphi) y_2(\varphi)}{W(\varphi)} d\varphi$$

この公式を使い,直接手で積分すると
$$y_1 = \cos\phi, \quad y_2 = \sin\phi, \quad W(\phi) = y_1 y’_2 – y’_1 y_2 = 1$$
\begin{eqnarray}
y_s &=& y_2(\phi) \int^{\phi}\frac{R(\varphi) y_1(\varphi)}{W(\varphi)} d\varphi –
y_1(\phi) \int^{\phi}\frac{R(\varphi) y_2(\varphi)}{W(\varphi)} d\varphi\\
&=& \sin\phi \int^{\phi}\frac{3}{2 b^2} \sin^2\varphi \cos\varphi \,d\varphi –
\cos\phi \int^{\phi}\frac{3}{2 b^2} \sin^2\varphi \sin\varphi \,d\varphi\\
&=& \frac{1}{b^2} \left( 1 – \frac{1}{2} \sin^2\phi\right)
\end{eqnarray}

したがって,\(r_g\) の1次までの効果を取り入れた光の経路は
$$ \frac{1}{r} = u = u_0 + r_g u_1 = \frac{\sin\phi}{b} + \frac{r_g}{b^2} \left( 1 – \frac{1}{2} \sin^2 \phi \right)$$ となる。

Maxima-Jupyter で求める例


同次方程式の一般解

In [1]:
y1(phi):= cos(phi);
y2(phi):= sin(phi);
Out[1]:
\[\tag{${\it \%o}_{1}$}y_{1}\left(\varphi\right):=\cos \varphi\]
Out[1]:
\[\tag{${\it \%o}_{2}$}y_{2}\left(\varphi\right):=\sin \varphi\]

ロンスキアン

In [2]:
W: y1(phi) * diff(y2(phi), phi) - diff(y1(phi), phi) * y2(phi);
trigsimp(W);
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{3}$}\sin ^2\varphi+\cos ^2\varphi\]
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{4}$}1\]

非同次項

In [3]:
R(phi):= 3/(2*b**2) * sin(phi)**2;
Out[3]:
\[\tag{${\it \%o}_{5}$}R\left(\varphi\right):=\frac{3}{2\,b^2}\,\sin ^2\varphi\]

特解を求める公式

In [4]:
ys: 
y2(phi) * integrate(R(phi)*y1(phi)/W, phi) - 
y1(phi) * integrate(R(phi)*y2(phi)/W, phi), ratsimp;
Out[4]:
\[\tag{${\it \%o}_{6}$}\frac{\sin ^4\varphi-\cos ^4\varphi+3\,\cos ^2\varphi}{2\,b^2}\]

$\sin\phi$ だけで表すと…

In [5]:
subst(sqrt(1-sin(phi)**2), cos(phi), ys), expand;
Out[5]:
\[\tag{${\it \%o}_{7}$}\frac{1}{b^2}-\frac{\sin ^2\varphi}{2\,b^2}\]