Return to 弱重力場中の光の経路の近似解

補足:弱重力場中の光の経路の近似解(別解法)

シュバルツシルト時空中の光の経路を決める式

$$ \frac{1}{r} \equiv u$$
と変数変換してやると,

\begin{eqnarray}
\left(\frac{du}{d\phi}\right)^2
&=& \left(\frac{1}{b}\right)^2 – u^2 + r_g \,u^3
\end{eqnarray}
これが光の経路を決める式であった。このままで近似的に解く。

弱重力場近似:\(r_g\) のゼロ次解

光の経路のいたるところで重力場が弱いという状況では, \(\displaystyle 0 < \frac{r_g}{r} = r_g u \ll 1\) としてよい。光の経路を決める式
$$\left(\frac{du}{d\phi}\right)^2
= \left(\frac{1}{b}\right)^2 – u^2 + r_g \,u^3$$
の右辺のうち,\(r_g\) を含む第3項は第2項に比べて \(O(r_g u) \) だけ小さい。したがって,まずは \(r_g\) を含む項を無視した場合の解を \(u_0\) とおいて解く。
$$\left(\frac{du_0}{d\phi}\right)^2
= \left(\frac{1}{b}\right)^2 – u_0^2$$

この式は変数分離形にできて
$$\pm\frac{d(b u_0)}{\sqrt{1 – (b u_0)^2}} =  d\phi$$
以下のように解くことができる。(補足を参照。)
$$u_0 = \frac{\sin(\phi + C)}{b}$$
積分定数 \(C\) は「\(\phi = 0\) で \(u_0 = 0\) という初期条件をつける」と,\(C = 0\) と決定できる。

まとめ: \(r_g\) を含む項を無視したときの解は$$ u_0 = \frac{\sin\phi}{b}$$

弱重力場近似:\(r_g\) の1次解

次に,\(r_g\) の1次の効果を含む解を求めるため,以下のようにおく。

$$ u = u_0 + r_g \, u_1(\phi) = \frac{\sin \phi}{b} + r_g \, u_1$$

これを元の式に入れて,\(r_g\) の1次までとると,左辺は

\begin{eqnarray}
\left(\frac{du}{d\phi}\right)^2 &=&\left(\frac{\cos\phi}{b} + r_g \frac{du_1}{d\phi} \right)^2 \\
&\simeq& \frac{\cos^2 \phi}{b^2} + 2 r_g \frac{\cos\phi}{b} \frac{du_1}{d\phi}
\end{eqnarray}

右辺は

\begin{eqnarray}
\frac{1}{b^2} – u^2 + r_g \,u^3 &\simeq& \frac{1}{b^2} – \left(\frac{\sin\phi}{b} + r_g\,u_1\right)^2 + r_g \left(\frac{\sin\phi}{b}\right)^3 \\
&\simeq& \frac{1}{b^2} – \left(\frac{\sin^2\phi}{b^2} + 2 r_g\,\frac{\sin\phi}{b}u_1\right) + r_g \left(\frac{\sin\phi}{b}\right)^3
\end{eqnarray}

\(r_g \) の項同士を等しいとおいて

\begin{eqnarray}
2\frac{\cos\phi}{b} \frac{du_1}{d\phi} &=& -2 \frac{\sin\phi}{b}u_1 + \left(\frac{\sin\phi}{b}\right)^3
\end{eqnarray}
この式は,左辺に \(u_1\) をまとめて以下のようにできる。

\begin{eqnarray}
\frac{d}{d\phi}\left( \frac{u_1}{\cos\phi} \right) &=& \frac{1}{2 b^2} \frac{\sin^3\phi}{\cos^2\phi} \\
\therefore\ \ u_1 &=& \frac{\cos\phi}{2 b^2} \int^{\phi}\frac{\sin^3\varphi}{\cos^2\varphi} d\varphi \\
&=& \frac{1}{b^2} \left( 1 – \frac{1}{2} \sin^2 \phi \right)
\end{eqnarray}

したがって,\(r_g\) の1次までの効果を取り入れた光の経路は
$$ \frac{1}{r} =u = u_0 + r_g u_1 = \frac{\sin\phi}{b} + \frac{r_g}{b^2} \left( 1 – \frac{1}{2} \sin^2 \phi \right)$$

Maxima-Jupyter で解く例


Maxima で
$$
\left(\frac{du}{d\phi}\right)^2
= \left(\frac{1}{b}\right)^2 – u^2 + r_g \,u^3
$$
を解く。

弱重力場近似:$r_g$ のゼロ次解

光の経路のいたるところで重力場が弱いという状況では, $\displaystyle 0 < \frac{r_g}{r} = r_g u \ll 1$ としてよい。$r_g$ を含む項を無視した場合の解を $u_0$ とおいて解く。
$$\left(\frac{du_0}{d\phi}\right)^2
= \left(\frac{1}{b}\right)^2 – u_0^2$$

In [1]:
assume(b > 0);
eq0: 'diff(u0, phi) = sqrt(1/b**2 - u0**2);
Out[1]:
\[\tag{${\it \%o}_{1}$}\left[ b>0 \right] \]
Out[1]:
\[\tag{${\it \%o}_{2}$}\frac{d}{d\,\varphi}\,u_{0}=\sqrt{\frac{1}{b^2}-u_{0}^2}\]
In [2]:
sol0: ode2(eq0, u0, phi);
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{3}$}\arcsin \left(b\,u_{0}\right)=\varphi+{\it \%c}\]
In [3]:
solve(sol0, u0);
Out[3]:
\[\tag{${\it \%o}_{4}$}\left[ u_{0}=\frac{\sin \left(\varphi+{\it \%c}\right)}{b} \right] \]

初期条件 $\phi = 0$ で $u_0 = 0$ を課すと…

In [4]:
ans0: ic1(%, phi = 0, u0 = 0);
solve: using arc-trig functions to get a solution.
Some solutions will be lost.
Out[4]:
\[\tag{${\it \%o}_{5}$}\left[ u_{0}=\frac{\sin \varphi}{b} \right] \]
In [5]:
u0: rhs(ans0[1]);
Out[5]:
\[\tag{${\it \%o}_{6}$}\frac{\sin \varphi}{b}\]

弱重力場近似:$r_g$ の1次解

$\displaystyle u = u_0 + r_g u_1$ として $u_1$ を求める。

Maxima で $\displaystyle \frac{du_1}{d\phi} + \frac{\sin\phi}{\cos\phi} u_1 = \frac{1}{2 b^2} \frac{\sin^3\phi}{\cos\phi}$ を解く。

In [6]:
eq1: 'diff(u1, phi) + sin(phi)/cos(phi) * u1 = 
      sin(phi)**3/(2 * b**2 * cos(phi));
Out[6]:
\[\tag{${\it \%o}_{7}$}\frac{d}{d\,\varphi}\,u_{1}+\frac{\sin \varphi\,u_{1}}{\cos \varphi}=\frac{\sin ^3\varphi}{2\,b^2\,\cos \varphi}\]
In [7]:
sol1: ode2(eq1, u1, phi), expand;
Out[7]:
\[\tag{${\it \%o}_{8}$}u_{1}=\frac{\cos ^2\varphi}{2\,b^2}+{\it \%c}\,\cos \varphi+\frac{1}{2\,b^2}\]

積分定数 $\% c$ に比例する項は同次方程式の一般解だから

In [8]:
tokkai: rhs(sol1), %c = 0;
Out[8]:
\[\tag{${\it \%o}_{9}$}\frac{\cos ^2\varphi}{2\,b^2}+\frac{1}{2\,b^2}\]
In [9]:
u1: subst(1-sin(phi)**2, cos(phi)**2, tokkai), expand;
Out[9]:
\[\tag{${\it \%o}_{10}$}\frac{1}{b^2}-\frac{\sin ^2\varphi}{2\,b^2}\]
In [10]:
u0 + rg*u1;
Out[10]:
\[\tag{${\it \%o}_{11}$}\left(\frac{1}{b^2}-\frac{\sin ^2\varphi}{2\,b^2}\right)\,{\it rg}+\frac{\sin \varphi}{b}\]