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無理関数の積分

多項式の平方根などの無理関数を含む場合の積分。必ず積分できるというわけではないが,置換積分などによって積分できるいくつかの例をあげておく。

例 1 \(\displaystyle \int \frac{dx}{x \sqrt{x+1}} \)

\( \sqrt{x+1} = t\) とおくと,

\begin{eqnarray}
x + 1 &=& t^2 \\
x &=& t^2 -1 \\
dx &=& 2t dt
\end{eqnarray}

したがって,

\begin{eqnarray}
\int \frac{dx}{x \sqrt{x+1}} &=& \int \frac{2 t dt}{(t^2 – 1) t} \\
&=& \int \frac{2}{t^2-1} dt\\
&=& \int \left( \frac{1}{t-1} – \frac{1}{t+1}\right) dt\\
&=& \log |t-1| – \log |t + 1| + C \\
&=& \log \left| \frac{\sqrt{x+1} -1}{\sqrt{x+1} + 1}\right| + C
\end{eqnarray}

例 2 \(\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}} \)

\( \sqrt{x^2 + 1} = t\) ではなく,\( \sqrt{x^2 + 1} = t {\color{red} {- x}}\) とおくとよいことが知られている。

\begin{eqnarray}
\sqrt{x^2+1} &=& t – x \\
x^2 + 1 &=& t^2 – 2 t x + x^2 \\
\therefore\ \ x &=& \frac{t^2-1}{2t} \\
dx &=& \frac{t^2 + 1}{2t^2} dt \\
\sqrt{x^2+1} &=& t – x \\
&=& t – \frac{t^2-1}{2t} \\
&=& \frac{t^2 + 1}{2t}
\end{eqnarray}

したがって

\begin{eqnarray}
\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}} &=& \int \frac{2t}{t^2 + 1} \frac{t^2 + 1}{2t^2} dt\\
&=& \int \frac{1}{t} dt \\
&=& \log |t| + C \\
&=& \log \left|x + \sqrt{x^2 + 1}\right| + C \\
&=& \log \left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right) + C
\end{eqnarray}

別解:

逆双曲線関数の微分を思い出すと

$$ \frac{d}{dx} \sinh^{-1} x = \frac{d}{dx} \log\left(x + \sqrt{x^2+1}\right) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$$

だったから,ただちに

$$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}} = \sinh^{-1} x + C = \log\left(x + \sqrt{x^2+1}\right) + C$$

例 3 \(\displaystyle \int \sqrt{x^2+1} dx\)

この場合も \( \sqrt{x^2 + 1} = t – x\) とおくとよいことが知られている。

\begin{eqnarray}
\int \sqrt{x^2+1} dx &=& \int \frac{t^2+1}{2t} \frac{t^2 + 1}{2t^2} dt\\
&=& \frac{1}{4} \int \frac{t^4 + 2 t^2 + 1}{t^3} dt \\
&=& \frac{1}{4} \int \left(t + \frac{2}{t} + \frac{1}{t^3} \right)dt\\
&=& \frac{1}{4} \left( \frac{t^2}{2} + 2 \log |t| – \frac{1}{2 t^2} \right) + C \\
&=& \frac{1}{2} \log |t| + \frac{1}{2} \frac{t^2 + 1}{2t} \frac{t^2 – 1}{2t} + C\\
&=& \frac{1}{2} \log \left(x + \sqrt{x^2+1}\right)+ \frac{1}{2} x \sqrt{x+1}+ C
\end{eqnarray}

 

別解:

部分積分をして,例 2 の結果を使う。

\begin{eqnarray}
\int \sqrt{x^2+1} dx &=& x \sqrt{x^2 + 1} – \int x \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} dx \\
&=& x \sqrt{x^2 + 1} – \int  \frac{x^2 + 1}{\sqrt{x^2+1}} dx + \int  \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx\\
&=& \int  \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx + x \sqrt{x^2 + 1} – \int \sqrt{x^2 + 1} dx \\ \ \\
\therefore\ \ \int \sqrt{x^2+1} dx &=& \frac{1}{2} \left\{ \int  \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx + x \sqrt{x^2 + 1}\right\} \\
&=& \frac{1}{2} \log \left(x + \sqrt{x^2+1}\right) + \frac{1}{2} x \sqrt{x+1}+ C
\end{eqnarray}